Чтобы решить уравнение √(14x - 3x² - 8) · (x² - 2x - 8) = 0, начнем с того, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Рассмотрим два множителя по отдельности:

1. Первый множитель: √(14x - 3x² - 8) = 0
2. Второй множитель: (x² - 2x - 8) = 0

1. Решим первый множитель:

Чтобы корень равнялся нулю, подкоренное выражение должно быть равно нулю:

14x - 3x² - 8 = 0

Перепишем уравнение в стандартном виде:

-3x² + 14x - 8 = 0

Умножим на -1, чтобы упростить:

3x² - 14x + 8 = 0

Теперь применим формулу решения квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 3, b = -14, c = 8.

Сначала найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = (-14)² - 4 * 3 * 8 = 196 - 96 = 100.

Теперь найдем корни:

x1,2 = (14 ± √100) / (2 * 3) = (14 ± 10) / 6.

Теперь вычислим два корня:

x1 = (14 + 10) / 6 = 24 / 6 = 4.

x2 = (14 - 10) / 6 = 4 / 6 = 2/3.

2. Решим второй множитель:

x² - 2x - 8 = 0.

Применим ту же формулу:

D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.

x1,2 = (2 ± √36) / 2 = (2 ± 6) / 2.

Вычислим корни:

x1 = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4.

x2 = (2 - 6) / 2 = -4 / 2 = -2.

Теперь соберем все корни:

• Из первого множителя: 4 и 2/3.
• Из второго множителя: 4 и -2.

Наименьший корень среди найденных: -2.

Теперь увеличим его в 9 раз:

-2 * 9 = -18.

Ответ: Наименьший корень уравнения, увеличенный в 9 раз, равен -18.