Какой объем тела получится при вращении функции y=2x^3 вокруг оси OX в пределах от x=0 до x=1?

Алгебра 11 класс Объем тела вращения Объём тела вращения функция y=2x^3 ось OX пределы интегрирования алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти объем тела, получающегося при вращении графика функции y=2x^3 вокруг оси OX на интервале от x=0 до x=1, мы будем использовать метод дисков (или цилиндров).

Формула для объема V тела вращения, получаемого при вращении функции y=f(x) вокруг оси OX, выглядит следующим образом:

V = π ∫[a, b] (f(x))^2 dx

Где:

• V - объем тела вращения;
• π - число Пи (примерно 3.14);
• f(x) - функция, которую мы вращаем;
• [a, b] - пределы интегрирования (в нашем случае от 0 до 1).

Теперь подставим нашу функцию и пределы интегрирования в формулу:

f(x) = 2x^3

Следовательно, нам нужно вычислить:

V = π ∫[0, 1] (2x^3)^2 dx

Теперь упростим выражение:

(2x^3)^2 = 4x^6

Таким образом, объем можно записать как:

V = π ∫[0, 1] 4x^6 dx

Теперь вычислим интеграл:

∫ 4x^6 dx = 4 * (x^7 / 7) = (4/7)x^7

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 1:

V = π * [(4/7)(1^7) - (4/7)(0^7)]

Это упрощается до:

V = π * (4/7) * (1 - 0) = (4/7)π

Таким образом, объем тела, получающегося при вращении функции y=2x^3 вокруг оси OX на интервале от x=0 до x=1, равен:

V = (4/7)π