Касательная, проведенная к графику функции y=2x^3+6x^2+11x+8 в определенной точке, параллельна прямой y=5x+4.

1. Каковы координаты точки касания?
2. Какое уравнение имеет касательная?

Алгебра 11 класс Касательные и нормали к графику функции алгебра 11 класс касательная к графику функции координаты точки касания Уравнение касательной параллельные прямые график функции производная функции задачи по алгебре анализ функций математический анализ Новый

Чтобы найти координаты точки касания касательной к графику функции y=2x^3+6x^2+11x+8, которая параллельна прямой y=5x+4, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти производную функции

Сначала найдем производную функции, которая даст нам наклон касательной в любой точке. Для функции y=2x^3+6x^2+11x+8 производная будет:

• y' = 6x^2 + 12x + 11

Шаг 2: Найти значение x, при котором наклон равен 5

Так как касательная параллельна прямой y=5x+4, это означает, что наклон касательной (производная) в этой точке равен 5. Теперь мы приравняем производную к 5 и решим уравнение:

• 6x^2 + 12x + 11 = 5
• 6x^2 + 12x + 6 = 0
• x^2 + 2x + 1 = 0

Это уравнение можно упростить:

• (x + 1)^2 = 0

Таким образом, мы находим, что x = -1.

Шаг 3: Найти координаты точки касания

Теперь подставим найденное значение x в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y:

• y = 2(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 8
• y = 2(-1) + 6(1) - 11 + 8
• y = -2 + 6 - 11 + 8
• y = 1

Таким образом, координаты точки касания: (-1, 1).

Шаг 4: Найти уравнение касательной

Теперь мы можем использовать точку касания и наклон, чтобы записать уравнение касательной. У нас есть точка (-1, 1) и наклон 5. Уравнение касательной можно записать в виде:

• y - y0 = m(x - x0)

где (x0, y0) - координаты точки касания, m - наклон. Подставим значения:

• y - 1 = 5(x + 1)

Раскроем скобки:

• y - 1 = 5x + 5
• y = 5x + 6

Ответ:

Координаты точки касания: (-1, 1). Уравнение касательной: y = 5x + 6.