Для того чтобы найти значения параметра a, при которых система уравнений имеет ровно два различных решения, начнем с анализа каждого из уравнений отдельно.

Первое уравнение:

• (x – a)² + (y – 3)² = 4 является уравнением окружности с центром в точке (a, 3) и радиусом 2.

Второе уравнение:

• y = |x – 1| + a представляет собой V-образную функцию, которая имеет вершину в точке (1, a) и открыта вверх.

Теперь нам нужно проанализировать, как окружность и V-образная функция могут пересекаться, чтобы иметь ровно два различных решения.

Для этого рассмотрим следующие случаи:

• Это будет означать, что у нас есть одно решение на границе. Для этого окружность должна проходить через вершину V-образной функции.
• Вершина V-образной функции находится в точке (1, a). Подставим это в уравнение окружности:
• (1 - a)² + (a - 3)² = 4.
• Раскроем скобки:
• (1 - 2a + a²) + (a² - 6a + 9) = 4.
• Объединим подобные:
• 2a² - 8a + 10 = 4.
• 2a² - 8a + 6 = 0.
• Сократим на 2:
• a² - 4a + 3 = 0.
• Теперь решим это квадратное уравнение:
• (a - 3)(a - 1) = 0.
• Таким образом, a = 3 или a = 1.

• Для этого окружность должна находиться выше или ниже V-образной функции в области, где они могут пересекаться.
• Это будет происходить, когда центр окружности (a, 3) находится выше или ниже прямой y = |x - 1| + a.

Теперь необходимо проверить, при каких значениях a окружность будет пересекаться с V-образной функцией в двух точках. Мы уже нашли, что при a = 1 и a = 3 у нас будет касание. Теперь нужно проверить значения a, которые находятся между этими точками, чтобы гарантировать, что окружность пересекает V-образную функцию в двух точках.

• Если a < 1, то окружность будет ниже V-образной функции, и пересечений не будет.
• Если 1 < a < 3, то окружность будет пересекаться с V-образной функцией в двух точках.
• Если a > 3, то окружность будет выше V-образной функции, и также не будет пересечений.

Таким образом, система уравнений имеет ровно два различных решения при значениях параметра a в интервале: