Объем правильного тетраэдра равен 2 см^3. Какой будет объем правильного тетраэдра, если его ребро в 3 раза длиннее ребра данного тетраэдра?
Ответ - 54 см^3. Но почему так?

Алгебра 11 класс Объём многогранников объем правильного тетраэдра объем тетраэдра задачи по алгебре геометрия свойства тетраэдра увеличение ребра решение задач алгебра 11 класс Новый

Чтобы понять, почему объем правильного тетраэдра, у которого ребро в 3 раза длиннее, равен 54 см³, давайте разберем это шаг за шагом.

Шаг 1: Формула объема правильного тетраэдра

Объем правильного тетраэдра можно вычислить по следующей формуле:

V = (a^3) / (6√2),

где V - объем, а a - длина ребра тетраэдра.

Шаг 2: Объем данного тетраэдра

По условию задачи объем данного тетраэдра равен 2 см³. Используя формулу объема, мы можем выразить длину ребра a:

• V = 2 см³ = (a^3) / (6√2)
• Следовательно, a^3 = 2 * 6√2
• Это дает a^3 = 12√2.

Шаг 3: Длина нового ребра

Теперь, если длина ребра нового тетраэдра в 3 раза больше, чем у данного, то:

• Новое ребро a' = 3a.

Шаг 4: Объем нового тетраэдра

Теперь подставим новое значение ребра в формулу объема:

• V' = (a'^3) / (6√2) = ((3a)^3) / (6√2).
• Это можно упростить: (3a)^3 = 27a^3.
• Следовательно, V' = (27a^3) / (6√2).

Шаг 5: Подставляем значение a^3

Теперь мы знаем, что a^3 = 12√2, подставим это значение:

• V' = (27 * 12√2) / (6√2).
• √2 в числителе и знаменателе сокращается:
• V' = (27 * 12) / 6.
• Теперь упрощаем: 27 * 12 = 324, и 324 / 6 = 54.

Итак, объем нового тетраэдра равен 54 см³.