Чтобы понять, почему объем правильного тетраэдра, у которого ребро в 3 раза длиннее, равен 54 см³, давайте разберем это шаг за шагом.

Шаг 1: Формула объема правильного тетраэдра

Объем правильного тетраэдра можно вычислить по следующей формуле:

V = (a^3) / (6√2),

где V - объем, а a - длина ребра тетраэдра.

Шаг 2: Объем данного тетраэдра

По условию задачи объем данного тетраэдра равен 2 см³. Используя формулу объема, мы можем выразить длину ребра a:

• V = 2 см³ = (a^3) / (6√2)
• Следовательно, a^3 = 2 * 6√2
• Это дает a^3 = 12√2.

Шаг 3: Длина нового ребра

Теперь, если длина ребра нового тетраэдра в 3 раза больше, чем у данного, то:

• Новое ребро a' = 3a.

Шаг 4: Объем нового тетраэдра

Теперь подставим новое значение ребра в формулу объема:

• V' = (a'^3) / (6√2) = ((3a)^3) / (6√2).
• Это можно упростить: (3a)^3 = 27a^3.
• Следовательно, V' = (27a^3) / (6√2).

Шаг 5: Подставляем значение a^3

Теперь мы знаем, что a^3 = 12√2, подставим это значение:

• V' = (27 * 12√2) / (6√2).
• √2 в числителе и знаменателе сокращается:
• V' = (27 * 12) / 6.
• Теперь упрощаем: 27 * 12 = 324, и 324 / 6 = 54.

Итак, объем нового тетраэдра равен 54 см³.