Помогите пожалуйста выполнить задание типа B14 ЕГЭ Математика. (Найти наибольшее значение функции) Y= Log1/3 (x² - 4x + 13)

Алгебра 11 класс Наибольшее значение функции алгебра задание B14 ЕГЭ математика Наибольшее значение функции логарифм функция x² - 4x + 13 Новый

Давайте решим задачу по нахождению наибольшего значения функции Y = Log_1/3(x² - 4x + 13).

Шаг 1: Определим область определения функции.

• Функция логарифма определена только для положительных значений аргумента. Следовательно, необходимо, чтобы выражение внутри логарифма было больше нуля:
• x² - 4x + 13 > 0.

Теперь найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

• D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * 13 = 16 - 52 = -36.

Так как дискриминант отрицательный, это значит, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, и функция x² - 4x + 13 всегда положительна для всех x. Таким образом, область определения функции Y - все действительные числа.

Шаг 2: Найдем производную функции Y.

Чтобы найти наибольшее значение функции, мы можем использовать производную. Для этого воспользуемся правилом производной логарифма:

• Y' = (1 / (x² - 4x + 13)) * (2x - 4) * (1 / ln(1/3)).

Так как ln(1/3) < 0, знак производной будет зависеть от знака числителя:

• 2x - 4 = 0 => x = 2.

Теперь определим, как меняется функция на интервалах:

• При x < 2, 2x - 4 < 0, следовательно, Y' < 0 (функция убывает).
• При x > 2, 2x - 4 > 0, следовательно, Y' > 0 (функция возрастает).

Таким образом, функция Y достигает своего наибольшего значения в точке x = 2.

Шаг 3: Найдем значение функции в точке x = 2.

Теперь подставим x = 2 в исходное выражение:

• Y = Log_1/3(2² - 4 * 2 + 13) = Log_1/3(4 - 8 + 13) = Log_1/3(9).

Зная, что Log_1/3(9) = Log_1/3(3²) = 2 * Log_1/3(3) = 2 * (-1) = -2, мы получаем:

Ответ: Наибольшее значение функции Y = Log_1/3(x² - 4x + 13) равно -2.