При делении многочлена на выражение x - 1 остаток равен 3, а при делении на выражение x + 1 остаток равен 5. Также известно, что корень многочлена равен 0,5. Какой остаток получится при делении этого многочлена на выражение (x - 3)(x - 2)(x + 1)?

Алгебра 11 класс Остаточный теорема и деление многочленов многочлен деление многочлена остаток алгебра 11 класс корень многочлена выражение остаток при делении алгебра задачи по алгебре Новый

Чтобы найти остаток при делении многочлена на выражение (x - 3)(x - 2)(x + 1), мы можем воспользоваться свойством, что остаток от деления многочлена на многочлен степени n будет многочленом степени меньше n. В нашем случае, поскольку (x - 3)(x - 2)(x + 1) - это многочлен степени 3, остаток будет многочленом степени 2.

Обозначим наш многочлен как P(x). Тогда остаток можно записать в виде:

R(x) = ax^2 + bx + c

Теперь мы знаем, что:

• При делении P(x) на (x - 1) остаток равен 3, то есть P(1) = 3.
• При делении P(x) на (x + 1) остаток равен 5, то есть P(-1) = 5.
• Также известно, что P(0.5) = 0, так как 0.5 - корень многочлена.

Теперь подставим значения в R(x):

1. Для P(1) = 3: a(1)^2 + b(1) + c = 3, или a + b + c = 3.
2. Для P(-1) = 5: a(-1)^2 + b(-1) + c = 5, или a - b + c = 5.
3. Для P(0.5) = 0: a(0.5)^2 + b(0.5) + c = 0, или 0.25a + 0.5b + c = 0.

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

• 1) a + b + c = 3
• 2) a - b + c = 5
• 3) 0.25a + 0.5b + c = 0

Решим эту систему уравнений. Сначала вычтем из первого уравнения второе:

(a + b + c) - (a - b + c) = 3 - 5

Это упрощается до:

2b = -2, отсюда b = -1.

Теперь подставим b в первое уравнение:

a - 1 + c = 3, отсюда a + c = 4.

Подставим b в третье уравнение:

0.25a + 0.5(-1) + c = 0, или 0.25a - 0.5 + c = 0, что дает 0.25a + c = 0.5.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 1) a + c = 4
• 2) 0.25a + c = 0.5

Теперь вычтем из первого уравнения второе:

(a + c) - (0.25a + c) = 4 - 0.5

Это упрощается до:

0.75a = 3.5, отсюда a = 4.67.

Теперь подставим a обратно в первое уравнение:

4.67 + c = 4, отсюда c = -0.67.

Теперь мы имеем:

• a = 4.67
• b = -1
• c = -0.67

Таким образом, остаток R(x) можно записать как:

R(x) = 4.67x^2 - x - 0.67.

Теперь мы можем подставить значения x = 3 и x = 2, чтобы найти остаток:

При x = 3:

R(3) = 4.67(3)^2 - (3) - 0.67 = 4.67(9) - 3 - 0.67 = 42.03 - 3 - 0.67 = 38.36

При x = 2:

R(2) = 4.67(2)^2 - (2) - 0.67 = 4.67(4) - 2 - 0.67 = 18.68 - 2 - 0.67 = 16.01

Таким образом, остаток при делении многочлена P(x) на (x - 3)(x - 2)(x + 1) равен:

R(x) = 4.67x^2 - x - 0.67.