Прямая y = -x + 14 касается графика функции y = x^3 - 4x^2 + 3x + 14. Какую абсциссу имеет точка касания?

Алгебра 11 класс Касательные и нормали к графикам функций прямая y = -x + 14 график функции y = x^3 - 4x^2 + 3x + 14 точка касания абсцисса точки касания алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти абсциссу точки касания прямой y = -x + 14 и графика функции y = x^3 - 4x^2 + 3x + 14, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем производную функции

Производная функции y = x^3 - 4x^2 + 3x + 14 даст нам наклон касательной к графику в любой точке. Найдем производную:

• y' = 3x^2 - 8x + 3

Шаг 2: Найдем наклон касательной

Наклон прямой y = -x + 14 равен -1. Чтобы найти точку касания, мы приравняем производную к -1:

• 3x^2 - 8x + 3 = -1

Шаг 3: Упростим уравнение

Переносим -1 влево:

• 3x^2 - 8x + 4 = 0

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 3 * 4 = 64 - 48 = 16

Так как дискриминант положителен, у нас есть два решения:

• x1 = (8 + √16) / (2 * 3) = (8 + 4) / 6 = 12 / 6 = 2
• x2 = (8 - √16) / (2 * 3) = (8 - 4) / 6 = 4 / 6 = 2/3

Шаг 5: Проверим, какая из абсцисс подходит

Теперь нам нужно определить, какая из найденных точек (x1 = 2 или x2 = 2/3) соответствует касательной. Для этого подставим найденные значения в уравнение прямой:

• Для x = 2: y = -2 + 14 = 12
• Для x = 2/3: y = -(2/3) + 14 = 14 - 2/3 = 42/3 - 2/3 = 40/3

Шаг 6: Проверим значение функции в этих точках

Теперь подставим найденные x в функцию y = x^3 - 4x^2 + 3x + 14:

• Для x = 2: y = 2^3 - 4 * 2^2 + 3 * 2 + 14 = 8 - 16 + 6 + 14 = 12
• Для x = 2/3: y = (2/3)^3 - 4 * (2/3)^2 + 3 * (2/3) + 14 = 8/27 - 16/9 + 2 + 14

В результате, только x = 2 дает совпадение с y = 12.

Ответ:

Абсцисса точки касания равна 2.