2024-08-18 21:18:34
2^x-4^x+8^x=1 Помогите решить уравнение. Хотя бы начальные преобразования
Алгебра 11 класс Показательные уравнения. начальные преобразования
2024-08-25 21:20:02
Решение:
$2^x - 4^x + 8^x = 1$
Представим $4^x$ и $8^x$ как степени числа $2$. Получим:
$2^x - (2^x)^2 + (2^x)^3 = 1$.
Введём замену: $t = 2^x$. Тогда уравнение примет вид:
$t - t^2 + t^3 = 1$,
или
$t^3 - t^2 + t - 1 = 0$.
Решим это кубическое уравнение. Для этого разложим левую часть на множители.
$t^3 - t^2 + t - 1 = (t - 1)(t^2 + 1)$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
$t - 1 = 0$, откуда $t = 1.$
$(t^2 + 1) = 0,$ но сумма двух чисел не может равняться нулю, поэтому решений нет.
Вернёмся к замене:
Если $t = 1,$ то $2^x = 1$, откуда $x = 0.$
Ответ: 0.
