Показательные уравнения
Определение: Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.
Простейшее показательное уравнение имеет вид: a^x = b, где а и b — некоторые числа, причём а > 0, a ≠ 1.
При решении показательных уравнений используются свойства степеней и методы решения уравнений.
Методы решения показательных уравнений
Пример: Решить уравнение 3^2x = 45.Решение: Представим число 45 в виде 3² 5:3^2x = (3²) 5;3^2x = 3²;По свойству степеней с одинаковым основанием получаем:2х = 2;х = 1.Ответ: х = 1.
Пример: Решить уравнение: 2^x + 2^x+2 = 6.Решение: Вынесем общий множитель 2^x за скобки:2^x(1 + 2²) = 6;2^x 5 = 6;Представим 6 как 2 3:2^x 5 = 2 3;Поделим обе части на 2:2^x 5 / 2 = 3 / 2;Получим:(2^x) 2,5 = 1,5;Теперь вынесем общий множитель 1,5 за скобку:*1,5 (2^x) = 1,5;Разделим обе части уравнения на 1,5:(2^x) = 1;Так как любое число в нулевой степени равно единице, получим:x = 0**.Ответ: x = 0.
Пример: Решим уравнение: 3 9^x – 8 4^x = 0.Решение: Введём новую переменную t = 9^x, тогда уравнение примет вид:3t – 8 (¼)ⁿ = 0;Умножим обе части уравнения на 4:12t – 2³t = 0;Вынесем общий множитель за скобки:t(12 – 2³) = 0;Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:t₁ = 0 или 12 – 2³ = 0;Решим второе уравнение:12 – 2³ = 0;8 = 8;Следовательно, t₂ = 12.Вернёмся к исходной переменной:9^x = t₁;9^x = 0;Степени с отрицательным показателем не существует, поэтому уравнение решений не имеет.9^x = t₂;9^x = 12;Прологарифмируем обе части по основанию 9:x log₉9 = log₉12;x = log₉12 / log₉9;x = log₁₂ / log₁₂9;x = 2.Ответ: x = 2.
Пример: Решим графически уравнение: 5^x = -3.Решение: Построим графики функций у = 5^х и у = -3. Графиком первой функции является экспонента, а второй — прямая, проходящая через точку (0; -3). Точка пересечения графиков имеет абсциссу х ≈ -0,7.Ответ: х ≈ -0,7.
Важно отметить, что графический метод не всегда даёт точное решение, так как построение графиков может быть неточным. Однако он может помочь найти приближённое значение корня уравнения.
Пример: Рассмотрим уравнение: 4^x = x^2.Решение: Функция y = 4^x возрастает, а функция y = x² убывает на всей числовой прямой. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим корень x = 2. Ответ: x = 2.
Это лишь некоторые методы решения показательных уравнений. Важно помнить, что выбор метода зависит от конкретного уравнения и может потребовать творческого подхода.