Срочно вычислите объем тела, образованного при вращении вокруг оси Оx фигуры, ограниченной линиями у = x^2 - 9 и y = 0.

Алгебра 11 класс Интегралы и объемы тел вращения Объём тела вращение вокруг оси алгебра 11 класс фигура у = x^2 - 9 интегрирование геометрия вращения вычисление объёма Новый

Чтобы вычислить объем тела, образованного при вращении фигуры вокруг оси OX, нам нужно использовать метод дисков или цилиндров. В данном случае мы будем использовать метод дисков.

Шаги решения:

1. Найдем точки пересечения кривой y = x^2 - 9 и оси y = 0.
   • Установим уравнение: x^2 - 9 = 0.
   • Решим его: x^2 = 9, следовательно, x = ±3.
   • Таким образом, точки пересечения: x = -3 и x = 3.
2. Определим объем тела вращения.
   • Формула для объема V тела вращения вокруг оси OX выглядит следующим образом: V = π * ∫[a, b] (f(x))^2 dx, где f(x) — функция, описывающая верхнюю границу фигуры, а a и b — границы интегрирования.
   • В нашем случае f(x) = x^2 - 9, a = -3, b = 3.
3. Запишем интеграл для объема:
   • V = π * ∫[-3, 3] (x^2 - 9)^2 dx.
4. Посчитаем интеграл.
   • Сначала раскроем скобки: (x^2 - 9)^2 = x^4 - 18x^2 + 81.
   • Теперь подставим в интеграл: V = π * ∫[-3, 3] (x^4 - 18x^2 + 81) dx.
   • Теперь вычислим интеграл по частям:
   • ∫ x^4 dx = (1/5)x^5,
   • ∫ x^2 dx = (1/3)x^3,
   • ∫ dx = x.
   • Теперь подставим пределы интегрирования:
   • V = π * [(1/5)x^5 - 18*(1/3)x^3 + 81x] от -3 до 3.
5. Посчитаем значения в пределах:
   • Подставим x = 3: V(3) = (1/5)(3^5) - 18*(1/3)(3^3) + 81(3).
   • Подставим x = -3: V(-3) = (1/5)(-3^5) - 18*(1/3)(-3^3) + 81(-3).
   • Так как функция четная, V(-3) = -V(3).
6. Сложим результаты:
   • V = 2 * π * [(1/5)(3^5) - 18*(1/3)(3^3) + 81(3)].
7. Вычислим численно:
   • (1/5)(243) - 18*(1/3)(27) + 243 = 48.6 - 162 + 243 = 129.6.
   • V = 2 * π * 129.6 = 259.2π.

Таким образом, объем тела, образованного при вращении фигуры вокруг оси OX, равен 259.2π кубических единиц.