Вопрос: Как вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 4 и y = 0? Желательно сделать на тетради с полным решением. SOS!!!!

Алгебра 11 класс Интегралы и объемы тел вращения Объём тела вращения алгебра 11 класс y = x^2 - 4 ось OX полное решение график функции интегралы математический анализ площадь фигуры метод дисков Новый

Для вычисления объема тела, образованного вращением фигуры вокруг оси OX, мы можем использовать метод дисков или цилиндров. В данном случае, будем использовать метод дисков.

Шаги решения:

1. Найдем точки пересечения кривой y = x^2 - 4 и оси OX (где y = 0):
• Решим уравнение: x^2 - 4 = 0.
• Это уравнение можно переписать как x^2 = 4.
• Извлекаем корень: x = ±2.
2. Определим границы интегрирования:
• Мы нашли, что точки пересечения находятся в x = -2 и x = 2.
3. Запишем объем тела вращения:
• Объем V можно вычислить по формуле:
• V = π * ∫[a, b] (f(x))^2 dx, где f(x) - это функция, ограничивающая фигуру, а [a, b] - границы интегрирования.
• В нашем случае f(x) = x^2 - 4, a = -2, b = 2.
4. Запишем интеграл:
• V = π * ∫[-2, 2] (x^2 - 4)^2 dx.
5. Решим интеграл:
• Сначала раскроем скобки:
• (x^2 - 4)^2 = x^4 - 8x^2 + 16.
• Теперь интегрируем: V = π * ∫[-2, 2] (x^4 - 8x^2 + 16) dx.
• Интеграл можно разбить на три части:
• V = π * (∫[-2, 2] x^4 dx - 8∫[-2, 2] x^2 dx + 16∫[-2, 2] dx).
6. Вычислим каждый из интегралов:
• ∫ x^4 dx = (1/5)x^5, тогда ∫[-2, 2] x^4 dx = [(1/5)(2^5) - (1/5)(-2^5)] = (1/5)(32 + 32) = (64/5).
• ∫ x^2 dx = (1/3)x^3, тогда ∫[-2, 2] x^2 dx = [(1/3)(2^3) - (1/3)(-2^3)] = (1/3)(8 + 8) = (16/3).
• ∫ dx = x, тогда ∫[-2, 2] dx = [2 - (-2)] = 4.
7. Подставим найденные значения в формулу объема:
• V = π * [(64/5) - 8*(16/3) + 16*4].
• Теперь вычислим: 8*(16/3) = 128/3 и 16*4 = 64.
• Приведем к общему знаменателю: V = π * [(64/5) - (128/3) + 64].
• Общий знаменатель для 5 и 3 - 15:
• V = π * [(192/15) - (640/15) + (960/15)] = π * (512/15).
8. Итак, объем тела вращения равен:
• V = (512π)/15.

Таким образом, объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси OX, равен (512π)/15.