В основании прямой призмы находится прямоугольный треугольник ABC, где катет AC равен 4, а катет BC равен 3. Через гипотенузу AB основания и вершину C1 проведена плоскость. Какова должна быть высота призмы, чтобы угол между плоскостью AC1B и плоскостью основания составлял 45 градусов?

Алгебра 11 класс Геометрия и стереометрия прямая призма прямоугольный треугольник высота призмы угол 45 градусов плоскость AC1B гипотенуза AB катет AC катет BC алгебра 11 класс Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Определим координаты вершин треугольника ABC.

• Пусть точка A имеет координаты (0, 0),
• точка B - (4, 0),
• точка C - (4, 3).

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где катет AC равен 4 (по оси Y), а катет BC равен 3 (по оси X).

2. Найдем координаты точки C1.

Точка C1 будет находиться над точкой C, то есть ее координаты будут (4, 3, h), где h - высота призмы, которую мы ищем.

3. Определим векторы, которые будут использоваться для нахождения угла между плоскостями.

• Вектор AC: (4, 3, h) - (0, 0, 0) = (4, 3, h),
• Вектор AB: (4, 0, 0) - (0, 0, 0) = (4, 0, 0).

4. Найдем нормальный вектор плоскости AC1B.

Для этого воспользуемся векторным произведением векторов AC и AB:

• AC = (4, 3, h),
• AB = (4, 0, 0).

Нормальный вектор N будет равен:

• N = AC x AB = |i j k|
• |4 3 h|
• |4 0 0|

Вычисляем определитель:

• N = (3*0 - h*0)i - (4*0 - h*4)j + (4*3 - 4*0)k = (0)i + (4h)j + (12)k.

Таким образом, нормальный вектор N = (0, 4h, 12).

5. Нормальный вектор плоскости основания.

Плоскость основания имеет нормальный вектор, который направлен по оси Z, то есть N0 = (0, 0, 1).

6. Теперь найдем угол между двумя нормальными векторами.

Угол между плоскостями можно найти по формуле:

cos(θ) = (N1 • N2) / (|N1| * |N2|),

где N1 и N2 - нормальные векторы плоскостей, а • - скалярное произведение.

7. Скалярное произведение N и N0:

N • N0 = (0 * 0) + (4h * 0) + (12 * 1) = 12.

8. Найдем длины векторов:

• |N| = sqrt(0^2 + (4h)^2 + 12^2) = sqrt(16h^2 + 144),
• |N0| = 1.

9. Подставим значения в формулу:

cos(θ) = 12 / sqrt(16h^2 + 144).

10. Для угла в 45 градусов cos(45°) = 1/sqrt(2):

1/sqrt(2) = 12 / sqrt(16h^2 + 144).

11. Перепишем уравнение:

sqrt(16h^2 + 144) = 12 * sqrt(2).

12. Квадрат обеих сторон:

16h^2 + 144 = 288.

13. Решим уравнение:

• 16h^2 = 288 - 144 = 144,
• h^2 = 144 / 16 = 9,
• h = 3.

Таким образом, высота призмы, чтобы угол между плоскостью AC1B и плоскостью основания составлял 45 градусов, должна быть равна 3.