Вопрос: Две параллельные плоскости, расстояние между которыми равно двум, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Какой радиус шара?

Алгебра 11 класс Геометрия и стереометрия алгебра 11 класс параллельные плоскости расстояние между плоскостями пересечение шара плоскость через центр шара площадь сечений отношение площадей радиус шара задача по алгебре геометрия шара Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом. У нас есть две параллельные плоскости, расстояние между которыми составляет 2, и одна из плоскостей проходит через центр шара. Мы знаем, что отношение площадей сечений шара, образованных этими плоскостями, равно 0,84. Нам необходимо найти радиус шара.

Обозначим:

• R - радиус шара;
• r - радиус сечения шара, которое образует плоскость, расположенная на расстоянии 1 от центра (так как одна плоскость проходит через центр, а другая на расстоянии 2).

Площади сечений шара можно выразить через радиусы:

• Площадь сечения первой плоскостью (через центр): S1 = πR²;
• Площадь сечения второй плоскостью (на расстоянии 1 от центра): S2 = πr².

По условию задачи у нас есть отношение площадей:

S1/S2 = 0,84.

Подставим выражения для площадей:

πR² / πr² = 0,84.

Сократим π:

R² / r² = 0,84.

Теперь выразим r²:

r² = R² / 0,84.

Зная, что одна плоскость проходит через центр шара, а другая расположена на расстоянии 2 от центра, можем использовать теорему Пифагора. Мы имеем:

R² = r² + 1².

Теперь подставим r² из предыдущего уравнения:

R² = (R² / 0,84) + 1.

Умножим все на 0,84 для удобства:

0,84R² = R² + 0,84.

Переносим все в одну сторону:

0,84R² - R² = 0,84.

Это уравнение упрощается до:

-0,16R² = 0,84.

Теперь разделим обе стороны на -0,16:

R² = 0,84 / 0,16.

Вычисляем:

R² = 5.25.

Теперь находим R:

R = √5.25 ≈ 2.29.

Таким образом, радиус шара равен примерно 2.29.