Чтобы вычислить приближенное значение арктангенса (arctg) для числа 1.05 с помощью дифференциала, мы можем воспользоваться свойствами производной функции и её приближенными значениями. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

Для начала выберем точку, в которой мы знаем значение функции arctg. Обычно удобно взять точку, близкую к 1.05. В данном случае это будет точка x = 1, так как arctg(1) = π/4 (или 45 градусов) и это значение нам известно.

Производная функции arctg(x) равна:

• f'(x) = 1 / (1 + x^2)

Теперь подставим известное значение x = 1:

• f'(1) = 1 / (1 + 1^2) = 1 / 2

Теперь найдем приращение x, которое у нас будет:

• Δx = 1.05 - 1 = 0.05

Теперь мы можем использовать формулу для приближенного значения функции:

• Δy ≈ f'(a) * Δx

Где a - это наше известное значение (в данном случае 1),f'(a) - производная в этой точке, а Δx - приращение, найденное на предыдущем шаге.

Подставим найденные значения:

• Δy ≈ (1/2) * 0.05 = 0.025

Теперь мы можем найти приближенное значение arctg(1.05):

• arctg(1.05) ≈ arctg(1) + Δy
• arctg(1.05) ≈ π/4 + 0.025

Поскольку π/4 ≈ 0.785398, то получаем:

• arctg(1.05) ≈ 0.785398 + 0.025 ≈ 0.810398

Таким образом, приближенное значение arctg(1.05) равно примерно 0.8104.