Вопрос: Как вычислить приближенное значение с помощью дифференциала для выражения arctg 1,05?

Алгебра 11 класс Приближенные вычисления и дифференциалы алгебра 11 класс дифференциал приближенное значение arctg вычисление математический анализ тригонометрические функции методы приближений производная Новый

Чтобы вычислить приближенное значение арктангенса (arctg) для числа 1.05 с помощью дифференциала, мы можем воспользоваться свойствами производной функции и её приближенными значениями. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Найдите значение функции и её производной в известной точке.

Для начала выберем точку, в которой мы знаем значение функции arctg. Обычно удобно взять точку, близкую к 1.05. В данном случае это будет точка x = 1, так как arctg(1) = π/4 (или 45 градусов) и это значение нам известно.

Шаг 2: Найдите производную функции arctg(x).

Производная функции arctg(x) равна:

• f'(x) = 1 / (1 + x^2)

Теперь подставим известное значение x = 1:

• f'(1) = 1 / (1 + 1^2) = 1 / 2

Шаг 3: Определите приращение x.

Теперь найдем приращение x, которое у нас будет:

• Δx = 1.05 - 1 = 0.05

Шаг 4: Используйте формулу для дифференциала.

Теперь мы можем использовать формулу для приближенного значения функции:

• Δy ≈ f'(a) * Δx

Где a - это наше известное значение (в данном случае 1), f'(a) - производная в этой точке, а Δx - приращение, найденное на предыдущем шаге.

Подставим найденные значения:

• Δy ≈ (1/2) * 0.05 = 0.025

Шаг 5: Найдите приближенное значение arctg(1.05).

Теперь мы можем найти приближенное значение arctg(1.05):

• arctg(1.05) ≈ arctg(1) + Δy
• arctg(1.05) ≈ π/4 + 0.025

Поскольку π/4 ≈ 0.785398, то получаем:

• arctg(1.05) ≈ 0.785398 + 0.025 ≈ 0.810398

Таким образом, приближенное значение arctg(1.05) равно примерно 0.8104.