Вопрос: Найдите решение уравнения x^4 + 1 = 0. Сколько корней у этого уравнения?

Алгебра 11 класс Уравнения высокой степени алгебра 11 класс уравнение x^4 + 1 = 0 корни уравнения решение уравнения комплексные корни Новый

Для того чтобы решить уравнение x^4 + 1 = 0, начнем с его преобразования. Мы можем записать уравнение в следующем виде:

x^4 = -1

Теперь мы видим, что нам нужно найти такие значения x, при которых x в четвертой степени равен -1. Важно отметить, что -1 можно представить в комплексной плоскости. Мы можем воспользоваться представлением комплексных чисел в тригонометрической форме.

Для этого сначала запишем -1 в полярной форме. В комплексной плоскости -1 находится на оси действительных чисел, и его модуль равен 1, а аргумент равен π (или 180 градусов). Таким образом, мы можем записать:

-1 = cos(π) + i*sin(π)

Теперь, чтобы найти корни уравнения x^4 = -1, воспользуемся формулой для нахождения n-ных корней комплексного числа:

z_k = r^(1/n) * (cos((θ + 2kπ)/n) + i*sin((θ + 2kπ)/n))

где r - модуль, θ - аргумент, n - степень, k - номер корня (k = 0, 1, 2, ..., n-1).

В нашем случае:

• r = 1 (модуль -1),
• θ = π (аргумент -1),
• n = 4 (поскольку мы ищем четвертые корни).

Теперь подставим значения в формулу:

1. Для k = 0: z_0 = 1^(1/4) * (cos((π + 2*0*π)/4) + i*sin((π + 2*0*π)/4)) = cos(π/4) + i*sin(π/4) = √2/2 + i√2/2.
2. Для k = 1: z_1 = 1^(1/4) * (cos((π + 2*1*π)/4) + i*sin((π + 2*1*π)/4)) = cos(3π/4) + i*sin(3π/4) = -√2/2 + i√2/2.
3. Для k = 2: z_2 = 1^(1/4) * (cos((π + 2*2*π)/4) + i*sin((π + 2*2*π)/4)) = cos(5π/4) + i*sin(5π/4) = -√2/2 - i√2/2.
4. Для k = 3: z_3 = 1^(1/4) * (cos((π + 2*3*π)/4) + i*sin((π + 2*3*π)/4)) = cos(7π/4) + i*sin(7π/4) = √2/2 - i√2/2.

Таким образом, мы нашли все четыре корня уравнения:

• √2/2 + i√2/2,
• -√2/2 + i√2/2,
• -√2/2 - i√2/2,
• √2/2 - i√2/2.

Ответ: У уравнения x^4 + 1 = 0 есть 4 корня.