Здравствуйте! Давайте вместе разберемся с этим уравнением и докажем данное равенство.
У нас есть условие:
a + 2b = 4.
Мы хотим доказать, что:
a³ + 8b³ = 64 - 24ab.
Для начала, заметим, что выражение a³ + 8b³ можно представить в виде суммы кубов. Мы знаем, что a³ + 8b³ можно записать как:
a³ + (2b)³.
Теперь мы можем воспользоваться формулой для суммы кубов:
x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²).
В нашем случае x = a и y = 2b. Подставим это в формулу:
1. Вычислим x + y:
- x + y = a + 2b = 4 (по условию).
2. Теперь найдем x² - xy + y²:
- x² = a²,
- y² = (2b)² = 4b²,
- xy = a(2b) = 2ab.
Таким образом, мы имеем:
x² - xy + y² = a² - 2ab + 4b².
Теперь мы можем записать a³ + 8b³ как:
a³ + 8b³ = (a + 2b)(a² - 2ab + 4b²).
Подставляем a + 2b = 4:
a³ + 8b³ = 4(a² - 2ab + 4b²).
Теперь нам нужно раскрыть скобки:
a³ + 8b³ = 4a² - 8ab + 16b².
Теперь сравним это выражение с правой частью уравнения, которую мы хотим доказать:
64 - 24ab.
Для этого мы можем выразить 64 - 24ab через a² и b². Однако давайте попробуем упростить выражение 4a² - 8ab + 16b², чтобы понять, равны ли они.
Мы знаем, что:
1. Из условия a + 2b = 4, мы можем выразить a через b:
- a = 4 - 2b.
2. Подставим a = 4 - 2b в выражение 4a² - 8ab + 16b².
Теперь найдем a² и ab:
- a² = (4 - 2b)² = 16 - 16b + 4b²,
- ab = (4 - 2b)b = 4b - 2b².
Теперь подставим эти значения в выражение:
4a² = 4(16 - 16b + 4b²) = 64 - 64b + 16b²,
- 8ab = -8(4b - 2b²) = -32b + 16b².
Теперь сложим все части:
4a² - 8ab + 16b² = (64 - 64b + 16b²) + (-32b + 16b²) + 16b².
Соберем подобные члены:
= 64 - 64b - 32b + 16b² + 16b² + 16b²
= 64 - 96b + 48b².
Теперь мы видим, что у нас есть выражение, которое зависит от b. Чтобы доказать равенство, нам нужно сравнить его с 64 - 24ab.
Теперь, подставив a = 4 - 2b в 24ab:
24ab = 24(4 - 2b)b = 96b - 48b².
Теперь подставим это значение в 64 - 24ab:
64 - (96b - 48b²) = 64 - 96b + 48b².
Таким образом, мы видим, что:
a³ + 8b³ = 64 - 24ab.
Следовательно, равенство доказано.
Ответ: Да, при условии a + 2b = 4, выполняется равенство a³ + 8b³ = 64 - 24ab.
