Здравствуйте! Помогите решить! 60 баллов. Докажите, что при условии a + 2b = 4, выполняется равенство a³ + 8b³ = 64 - 24ab.

Алгебра 11 класс Алгебраические тождества алгебра 11 класс решение уравнений доказательство равенства задачи по алгебре математические доказательства Новый

Здравствуйте! Давайте вместе разберемся с этим уравнением и докажем данное равенство.

У нас есть условие:

a + 2b = 4.

Мы хотим доказать, что:

a³ + 8b³ = 64 - 24ab.

Для начала, заметим, что выражение a³ + 8b³ можно представить в виде суммы кубов. Мы знаем, что a³ + 8b³ можно записать как:

a³ + (2b)³.

Теперь мы можем воспользоваться формулой для суммы кубов:

x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²).

В нашем случае x = a и y = 2b. Подставим это в формулу:

1. Вычислим x + y:

   • x + y = a + 2b = 4 (по условию).

2. Теперь найдем x² - xy + y²:

   • x² = a²,
   • y² = (2b)² = 4b²,
   • xy = a(2b) = 2ab.

Таким образом, мы имеем:

x² - xy + y² = a² - 2ab + 4b².

Теперь мы можем записать a³ + 8b³ как:

a³ + 8b³ = (a + 2b)(a² - 2ab + 4b²).

Подставляем a + 2b = 4:

a³ + 8b³ = 4(a² - 2ab + 4b²).

Теперь нам нужно раскрыть скобки:

a³ + 8b³ = 4a² - 8ab + 16b².

Теперь сравним это выражение с правой частью уравнения, которую мы хотим доказать:

64 - 24ab.

Для этого мы можем выразить 64 - 24ab через a² и b². Однако давайте попробуем упростить выражение 4a² - 8ab + 16b², чтобы понять, равны ли они.

Мы знаем, что:

1. Из условия a + 2b = 4, мы можем выразить a через b:

   • a = 4 - 2b.

2. Подставим a = 4 - 2b в выражение 4a² - 8ab + 16b².

Теперь найдем a² и ab:

• a² = (4 - 2b)² = 16 - 16b + 4b²,
• ab = (4 - 2b)b = 4b - 2b².

Теперь подставим эти значения в выражение:

4a² = 4(16 - 16b + 4b²) = 64 - 64b + 16b²,

• 8ab = -8(4b - 2b²) = -32b + 16b².

Теперь сложим все части:

4a² - 8ab + 16b² = (64 - 64b + 16b²) + (-32b + 16b²) + 16b².

Соберем подобные члены:

= 64 - 64b - 32b + 16b² + 16b² + 16b² = 64 - 96b + 48b².

Теперь мы видим, что у нас есть выражение, которое зависит от b. Чтобы доказать равенство, нам нужно сравнить его с 64 - 24ab.

Теперь, подставив a = 4 - 2b в 24ab:

24ab = 24(4 - 2b)b = 96b - 48b².

Теперь подставим это значение в 64 - 24ab:

64 - (96b - 48b²) = 64 - 96b + 48b².

Таким образом, мы видим, что:

a³ + 8b³ = 64 - 24ab.

Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Да, при условии a + 2b = 4, выполняется равенство a³ + 8b³ = 64 - 24ab.