Здравствуйте! Давайте решим вашу задачу шаг за шагом.
Мы хотим доказать, что если a + 2b = 4, то a^3 + 8b^3 = 64 - 24ab.
1. Начнем с того, что у нас есть равенство a + 2b = 4. Это можно использовать для выражения a через b или b через a. Давайте выразим a:
a = 4 - 2b.
2. Теперь подставим это значение a в выражение a^3 + 8b^3. Мы получим:
(4 - 2b)^3 + 8b^3.
3. Теперь раскроем скобки в первом слагаемом. Используем формулу куба разности:
(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3.
В нашем случае x = 4, y = 2b. Подставим это в формулу:
(4 - 2b)^3 = 4^3 - 3 * 4^2 * (2b) + 3 * 4 * (2b)^2 - (2b)^3.
Вычисляем каждое слагаемое:
- 4^3 = 64,
- 3 * 4^2 * (2b) = 3 * 16 * 2b = 96b,
- 3 * 4 * (2b)^2 = 3 * 4 * 4b^2 = 48b^2,
- (2b)^3 = 8b^3.
Теперь подставим все это обратно:
(4 - 2b)^3 = 64 - 96b + 48b^2 - 8b^3.
4. Теперь добавим 8b^3:
a^3 + 8b^3 = (64 - 96b + 48b^2 - 8b^3) + 8b^3.
Упрощаем:
a^3 + 8b^3 = 64 - 96b + 48b^2.
5. Теперь нам нужно показать, что 64 - 96b + 48b^2 = 64 - 24ab. Мы знаем, что a = 4 - 2b, значит ab = (4 - 2b)b = 4b - 2b^2.
6. Теперь подставим 24ab:
24ab = 24(4b - 2b^2) = 96b - 48b^2.
7. Подставим это в уравнение:
64 - 24ab = 64 - (96b - 48b^2) = 64 - 96b + 48b^2.
8. Мы видим, что обе стороны равны:
a^3 + 8b^3 = 64 - 96b + 48b^2 = 64 - 24ab.
Таким образом, мы доказали, что если a + 2b = 4, то a^3 + 8b^3 = 64 - 24ab.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
