Здравствуйте! Помогите решить задачу на 60 баллов. Нужно доказать, что если a + 2b = 4, то a в кубе + 8b в кубе = 64 - 24ab.

Алгебра 11 класс Алгебраические тождества алгебра 11 класс задача на доказательство a + 2b = 4 a в кубе 8b в кубе 64 - 24ab математические доказательства алгебраические уравнения Новый

Здравствуйте! Давайте решим вашу задачу шаг за шагом.

Мы хотим доказать, что если a + 2b = 4, то a^3 + 8b^3 = 64 - 24ab.

1. Начнем с того, что у нас есть равенство a + 2b = 4. Это можно использовать для выражения a через b или b через a. Давайте выразим a:

   a = 4 - 2b.

2. Теперь подставим это значение a в выражение a^3 + 8b^3. Мы получим:

   (4 - 2b)^3 + 8b^3.

3. Теперь раскроем скобки в первом слагаемом. Используем формулу куба разности:

   (x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3.

   В нашем случае x = 4, y = 2b. Подставим это в формулу:

   (4 - 2b)^3 = 4^3 - 3 4^2 (2b) + 3 4 (2b)^2 - (2b)^3.

   Вычисляем каждое слагаемое:

   • 4^3 = 64,
   • 3 4^2 (2b) = 3 16 2b = 96b,
   • 3 4 (2b)^2 = 3 4 4b^2 = 48b^2,
   • (2b)^3 = 8b^3.

   Теперь подставим все это обратно:

   (4 - 2b)^3 = 64 - 96b + 48b^2 - 8b^3.

4. Теперь добавим 8b^3:

   a^3 + 8b^3 = (64 - 96b + 48b^2 - 8b^3) + 8b^3.

   Упрощаем:

   a^3 + 8b^3 = 64 - 96b + 48b^2.

5. Теперь нам нужно показать, что 64 - 96b + 48b^2 = 64 - 24ab. Мы знаем, что a = 4 - 2b, значит ab = (4 - 2b)b = 4b - 2b^2.

6. Теперь подставим 24ab:

   24ab = 24(4b - 2b^2) = 96b - 48b^2.

7. Подставим это в уравнение:

   64 - 24ab = 64 - (96b - 48b^2) = 64 - 96b + 48b^2.

8. Мы видим, что обе стороны равны:

   a^3 + 8b^3 = 64 - 96b + 48b^2 = 64 - 24ab.

Таким образом, мы доказали, что если a + 2b = 4, то a^3 + 8b^3 = 64 - 24ab.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!