Давайте по очереди упростим каждую из дробей, следуя определенным шагам.

1. Сначала найдем общий множитель в числителе и знаменателе. В числителе у нас 2xy³, а в знаменателе 8x²y².
2. Разделим числитель и знаменатель на общий множитель. 2 и 8 имеют общий множитель 2. Также x и x² имеют общий множитель x, а y³ и y² имеют общий множитель y².
3. После деления получаем: (2xy³)/(8x²y²) = (2/8)(x/x²)(y³/y²) = (1/4)(1/x)(y) = y/(4x).

1. Сначала вынесем общий множитель из числителя. В числителе 15x⁴ и 25x³ имеют общий множитель 5x³.
2. Запишем дробь как: (5x³(3x - 5))/(5x⁵).
3. Теперь можем сократить 5x³ в числителе и 5x⁵ в знаменателе: (5x³(3x - 5))/(5x⁵) = (3x - 5)/(x²).

1. Здесь мы можем заметить, что в числителе 4y² - 1 является разностью квадратов: (2y)² - 1².
2. По формуле разности квадратов, это можно записать как: (2y - 1)(2y + 1).
3. Теперь рассмотрим знаменатель. 1 + 8y³ можно переписать как 1 + (2y)³, что также является суммой кубов.
4. Сумма кубов раскладывается по формуле: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²). Здесь a = 1, b = 2y. Получаем: 1 + 8y³ = (1 + 2y)(1 - 2y + 4y²).
5. Теперь у нас есть дробь: ((2y - 1)(2y + 1))/((1 + 2y)(1 - 2y + 4y²)).
6. Поскольку нет общих множителей, дробь остается в таком виде.

1. В числителе 27y³ + 1 можно записать как сумму кубов: (3y)³ + 1³.
2. Сумма кубов раскладывается по формуле: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²). Здесь a = 3y, b = 1. Получаем: (3y + 1)((3y)² - (3y)(1) + 1²) = (3y + 1)(9y² - 3y + 1).
3. В знаменателе 1 - 9y² можно записать как разность квадратов: 1 - (3y)² = (1 - 3y)(1 + 3y).
4. Теперь у нас есть дробь: ((3y + 1)(9y² - 3y + 1))/((1 - 3y)(1 + 3y)).
5. Поскольку нет общих множителей, дробь остается в таком виде.