Для записи периодических десятичных дробей в виде обыкновенных дробей необходимо следовать определенному алгоритму. Рассмотрим два примера: 0,3(2) и 0,(19).
Пример 1: 0,3(2)
Данная дробь имеет период 2, который начинается после первой цифры. Запишем шаги для преобразования:
- Обозначим дробь: Пусть x = 0,3(2).
- Умножим на 10: Умножим обе стороны уравнения на 10, чтобы сдвинуть запятую на одну позицию вправо. Получим: 10x = 3,2(2).
- Умножим на 100: Умножим обе стороны уравнения на 100, чтобы сдвинуть запятую на две позиции вправо и избавиться от периода. Получим: 1000x = 320,2(2).
- Вычтем: Теперь вычтем первое уравнение из второго: 1000x - 10x = 320,2(2) - 3,2(2).
- Упростим: 990x = 317. Теперь найдем x: x = 317 / 990.
- Сократим дробь: Проверим, можно ли сократить дробь. 317 является простым числом, и 990 = 2 * 3^2 * 5 * 11. Следовательно, дробь не сокращается.
Таким образом, 0,3(2) = 317/990.
Пример 2: 0,(19)
В этой дроби период 19, который идет с первой цифры. Запишем шаги:
- Обозначим дробь: Пусть y = 0,(19).
- Умножим на 100: Умножим обе стороны уравнения на 100, чтобы избавиться от периода. Получим: 100y = 19,(19).
- Вычтем: Теперь вычтем первое уравнение из второго: 100y - y = 19,(19) - 0,(19).
- Упростим: 99y = 19. Теперь найдем y: y = 19 / 99.
- Сократим дробь: Проверим, можно ли сократить дробь. 19 является простым числом, и 99 = 3^2 * 11. Следовательно, дробь не сокращается.
Таким образом, 0,(19) = 19/99.
В итоге, мы получили:
- 0,3(2) = 317/990
- 0,(19) = 19/99