Докажите, что сумма двух последовательных степеней числа 3 делится на 12.

Алгебра 8 класс Суммы и разности степеней алгебра 8 класс сумма степеней числа 3 делимость на 12 доказательство в алгебре последовательные степени свойства делимости задачи по алгебре Новый

Давайте рассмотрим сумму двух последовательных степеней числа 3, то есть выражение 3^n + 3^(n+1), где n - любое целое число. Мы можем упростить это выражение, чтобы лучше понять, как оно делится на 12.

Сначала перепишем сумму:

• 3^n + 3^(n+1) = 3^n + 3 * 3^n
• Это можно записать как: 3^n (1 + 3) = 3^n * 4.

Теперь у нас есть произведение 3^n * 4. Теперь давайте проанализируем, делится ли это выражение на 12.

Для того чтобы число делилось на 12, оно должно делиться на 3 и на 4. Давайте проверим оба условия:

1. Делимость на 4:

   Число 4 делится на 4, следовательно, произведение 3^n * 4 также делится на 4 независимо от значения n.

2. Делимость на 3:

   Теперь рассмотрим делимость на 3. Если n ≥ 0, то 3^n делится на 3, так как это степень числа 3. Если n < 0, то 3^n будет равно 1/(3^|n|), и в этом случае сумма 3^n + 3^(n+1) не будет делиться на 3. Однако, если n - натуральное число или 0, то 3^n делится на 3.

Таким образом, для n ≥ 0, сумма 3^n + 3^(n+1) делится на 4 и на 3, а значит, делится и на 12.

Итак, мы доказали, что сумма двух последовательных степеней числа 3, 3^n + 3^(n+1), делится на 12 для всех целых n, начиная с 0.