Докажите, что угол а треугольника АВС острый тогда и только тогда, когда длина медианы АМ превышает половину длины отрезка ВС!!! Пожалуйста.

Алгебра 8 класс Медианы треугольника угол а треугольника ABC медиана AM длина отрезка BC острый угол доказательство в алгебре Новый

Для доказательства утверждения о том, что угол а треугольника ABC острый тогда и только тогда, когда длина медианы AM превышает половину длины отрезка BC, мы будем использовать свойства треугольников и медиан.

Обозначим:

• AB = c
• AC = b
• BC = a
• AM - медиана, проведенная из вершины A к стороне BC

Длина медианы AM может быть найдена по формуле:

AM = 1/2 * sqrt(2b^2 + 2c^2 - a^2)

Теперь мы будем рассматривать два направления доказательства: сначала докажем, что если угол A острый, то AM > 1/2 * a, а затем обратное.

1. Если угол A острый (a < 90°):

В этом случае, по теореме косинусов, мы имеем:

cos(a) > 0, что означает, что:

c^2 + b^2 > a^2.

Подставим это неравенство в формулу для медианы:

1. Раскроем формулу медианы:
2. AM = 1/2 * sqrt(2b^2 + 2c^2 - a^2).
3. Так как c^2 + b^2 > a^2, то 2b^2 + 2c^2 > 2a^2.
4. Следовательно, 2b^2 + 2c^2 - a^2 > a^2, что означает, что AM > 1/2 * a.

2. Если AM > 1/2 * a:

Теперь предположим, что AM > 1/2 * a. Мы должны показать, что угол A острый.

1. Из условия AM > 1/2 * a получаем:
2. 1/2 * sqrt(2b^2 + 2c^2 - a^2) > 1/2 * a.
3. Отсюда следует, что sqrt(2b^2 + 2c^2 - a^2) > a.
4. Квадратируем обе стороны: 2b^2 + 2c^2 - a^2 > a^2.
5. Таким образом, 2b^2 + 2c^2 > 2a^2.
6. Это неравенство также указывает на то, что cos(a) > 0, что означает, что угол A острый.

Таким образом, мы доказали, что угол A треугольника ABC острый тогда и только тогда, когда длина медианы AM превышает половину длины отрезка BC.