Для доказательства тождества (2a+b)³ - (a-b)²(8a+b) = 27a²b мы начнем с того, чтобы вычислить каждую из частей отдельно, а затем сравнить их.

1. Вычислим (2a + b)³:
• Формула куба двучлена: (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³.
• Подставляем x = 2a и y = b:
• (2a + b)³ = (2a)³ + 3(2a)²b + 3(2a)b² + b³.
• Теперь вычислим каждую часть:
• (2a)³ = 8a³,
• 3(2a)²b = 12a²b,
• 3(2a)b² = 6ab²,
• и b³ остается b³.
• Итак, (2a + b)³ = 8a³ + 12a²b + 6ab² + b³.
2. Теперь вычислим (a - b)²(8a + b):
• Сначала найдем (a - b)²: (a - b)² = a² - 2ab + b².
• Теперь умножим это на (8a + b):
• (a² - 2ab + b²)(8a + b) = a²(8a + b) - 2ab(8a + b) + b²(8a + b).
• Раскроем скобки:
• a²(8a + b) = 8a³ + a²b,
• -2ab(8a + b) = -16a²b - 2ab²,
• b²(8a + b) = 8ab² + b³.
• Теперь сложим все части: 8a³ + a²b - 16a²b - 2ab² + 8ab² + b³ = 8a³ - 15a²b + 6ab² + b³.

Теперь подставим полученные результаты в изначальное тождество:

(2a + b)³ - (a - b)²(8a + b) = (8a³ + 12a²b + 6ab² + b³) - (8a³ - 15a²b + 6ab² + b³).

Сначала упростим: 8a³ уходит, так как они одинаковые, и останется:

12a²b + 15a²b = 27a²b.

Таким образом, мы доказали, что (2a + b)³ - (a - b)²(8a + b) = 27a²b.