Как можно доказать, что для любого натурального значения n выполняется равенство:

(1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16) * ... * (1 - 1/(n+1)^2) = (n + 2) / (2n + 2)

Алгебра 8 класс Математическая индукция алгебра 8 класс доказательство равенства натуральные числа произведение дробей математическая индукция формулы алгебры свойства чисел равенства в алгебре Новый

Чтобы доказать равенство:

(1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16) * ... * (1 - 1/(n+1)^2) = (n + 2) / (2n + 2)

для любого натурального значения n, мы будем использовать метод математической индукции. Этот метод состоит из двух основных шагов: базового случая и индукционного шага.

1. Базовый случай: Проверим равенство для n = 1.
• Подставим n = 1 в левую часть: (1 - 1/4) = 1 - 0.25 = 0.75 = 3/4.
• Теперь подставим n = 1 в правую часть: (1 + 2) / (2*1 + 2) = 3 / 4.
• Обе части равенства равны, значит, базовый случай выполнен.
2. Индукционный шаг: Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа k, то есть: (1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16) * ... * (1 - 1/(k+1)^2) = (k + 2) / (2k + 2).
• Теперь нужно доказать, что равенство верно для n = k + 1: (1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16) * ... * (1 - 1/(k+1)^2)(1 - 1/(k+2)^2) = (k + 3) / (2k + 4).
• Согласно предположению индукции, мы можем записать: (k + 2) / (2k + 2) * (1 - 1/(k+2)^2).
• Теперь упростим выражение: 1 - 1/(k+2)^2 = (k+2)^2 - 1 / (k+2)^2 = (k^2 + 4k + 3) / (k+2)^2.
• Подставим это в наше уравнение: (k + 2) / (2k + 2) * (k^2 + 4k + 3) / (k+2)^2.
• Упростим это выражение: =(k + 2)(k^2 + 4k + 3) / ((2k + 2)(k + 2)^2).
• При дальнейших преобразованиях мы получим: (k + 3) / (2k + 4), что и требуется доказать.

Таким образом, мы завершили индукционный шаг и доказали, что равенство выполняется для любого натурального значения n.