Как можно доказать, что для любого значения n выполняется равенство: 1 в кубе + 2 в кубе + 3 в кубе + ... + n в кубе = числитель (n в квадрате * (n + 1) в квадрате) делённый на 4?

Алгебра 8 класс Суммы кубов натуральных чисел алгебра 8 класс доказательство равенства сумма кубов формула суммы кубов математическая индукция свойства кубов числовые последовательности Новый

Чтобы доказать равенство:

1 в кубе + 2 в кубе + 3 в кубе + ... + n в кубе = (n^2 * (n + 1)^2) / 4,

мы можем использовать метод математической индукции. Этот метод состоит из двух шагов: базового случая и шага индукции.

1. Базовый случай:

   Проверим равенство для n = 1:

   Левая часть: 1 в кубе = 1.

   Правая часть: (1^2 * (1 + 1)^2) / 4 = (1 * 2^2) / 4 = (1 * 4) / 4 = 4 / 4 = 1.

   Обе части равны, значит базовый случай выполнен.

2. Шаг индукции:

   Предположим, что равенство выполняется для n = k, то есть:

   1 в кубе + 2 в кубе + 3 в кубе + ... + k в кубе = (k^2 * (k + 1)^2) / 4.

   Теперь нужно доказать, что оно выполняется для n = k + 1:

   Левая часть:

   1 в кубе + 2 в кубе + 3 в кубе + ... + k в кубе + (k + 1) в кубе.

   Подставим нашу предпосылку:

   (k^2 * (k + 1)^2) / 4 + (k + 1)^3.

   Теперь упростим правую часть:

   (k^2 * (k + 1)^2) / 4 + (k + 1)^3 = (k + 1)^2 * (k^2 / 4 + (k + 1)).

   Упростим выражение в скобках:

   k^2 / 4 + (k + 1) = k^2 / 4 + 4(k + 1) / 4 = (k^2 + 4k + 4) / 4 = (k + 2)^2 / 4.

   Таким образом, мы имеем:

   (k + 1)^2 * ((k + 2)^2 / 4) = ((k + 1)^2 * (k + 2)^2) / 4.

   Это соответствует правой части для n = k + 1:

   ((k + 1)^2 * ((k + 1) + 1)^2) / 4.

   Таким образом, мы доказали, что если равенство выполняется для n = k, то оно выполняется и для n = k + 1.

Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального числа n.