Как можно доказать, что для натурального числа n, которое не кратно 17, выполняется условие: либо n в восьмой степени плюс 1, либо n в восьмой степени минус 1 делится на 17?

Алгебра 8 класс Делимость и свойства чисел доказательство натуральное число кратно 17 восьмая степень делимость на 17 алгебра 8 класс свойства чисел теорема о делимости Новый

Чтобы доказать, что для натурального числа n, которое не кратно 17, выполняется условие: либо n в восьмой степени плюс 1, либо n в восьмой степени минус 1 делится на 17, мы можем использовать свойства чисел по модулю 17.

Давайте рассмотрим все возможные остатки от деления n на 17. Поскольку n не кратно 17, его остаток может принимать значения от 1 до 16. Обозначим остаток от деления n на 17 как r, где r = n mod 17. Таким образом, r может быть любым из следующих значений:

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• 10
• 11
• 12
• 13
• 14
• 15
• 16

Теперь мы будем рассматривать выражения r в восьмой степени плюс 1 и r в восьмой степени минус 1:

1. Сначала найдем r в восьмой степени для всех значений от 1 до 16.
2. Затем проверим, делится ли r в восьмой степени плюс 1 на 17.
3. Если не делится, проверим, делится ли r в восьмой степени минус 1 на 17.

Теперь давайте вычислим r в восьмой степени для каждого остатка:

• 1^8 = 1
• 2^8 = 256 mod 17 = 1
• 3^8 = 6561 mod 17 = 1
• 4^8 = 65536 mod 17 = 1
• 5^8 = 390625 mod 17 = 1
• 6^8 = 1679616 mod 17 = 1
• 7^8 = 5764801 mod 17 = 1
• 8^8 = 16777216 mod 17 = 1
• 9^8 = 43046721 mod 17 = 1
• 10^8 = 100000000 mod 17 = 1
• 11^8 = 214358881 mod 17 = 1
• 12^8 = 429981696 mod 17 = 1
• 13^8 = 815730721 mod 17 = 1
• 14^8 = 1475789056 mod 17 = 1
• 15^8 = 2562890625 mod 17 = 1
• 16^8 = 4294967296 mod 17 = 1

Как видно, для всех значений r от 1 до 16, r в восьмой степени всегда дает 1 по модулю 17. Теперь подставим это значение в наши выражения:

• r^8 + 1 = 1 + 1 = 2 (не делится на 17)
• r^8 - 1 = 1 - 1 = 0 (делится на 17)

Таким образом, мы видим, что для любого n, которое не кратно 17, выполняется условие: либо n в восьмой степени плюс 1, либо n в восьмой степени минус 1 делится на 17. Это и требуется доказать.