Как можно доказать, что сумма кубов трех последовательных чисел делится на 9? Убедите, что сумма (n-1)³ + n³ + (n+1)³ соответствует этому утверждению.

Алгебра 8 класс Сумма кубов алгебра 8 класс сумма кубов доказательство делимости последовательные числа (n-1)³ + n³ + (n+1)³ математическое утверждение Новый

Чтобы доказать, что сумма кубов трех последовательных чисел делится на 9, рассмотрим три последовательных числа: (n-1), n и (n+1). Нам нужно найти сумму их кубов:

Шаг 1: Запишем сумму кубов

Сумма кубов будет выглядеть так:

(n-1)³ + n³ + (n+1)³

Шаг 2: Раскроем каждое из выражений

• (n-1)³ = n³ - 3n² + 3n - 1
• n³ = n³
• (n+1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1

Шаг 3: Сложим все три выражения

Теперь сложим все три выражения:

(n³ - 3n² + 3n - 1) + n³ + (n³ + 3n² + 3n + 1)

Объединим подобные члены:

• 3n³ (из трех n³)
• -3n² + 3n² = 0 (члены с n² сокращаются)
• 3n + 3n = 6n (члены с n складываются)
• -1 + 1 = 0 (константы тоже сокращаются)

Таким образом, мы получаем:

Сумма = 3n³ + 6n

Шаг 4: Вынесем общий множитель

Можно вынести общий множитель 3:

Сумма = 3(n³ + 2n)

Шаг 5: Доказательство делимости на 9

Теперь, чтобы доказать, что эта сумма делится на 9, нужно показать, что выражение n³ + 2n также делится на 3. Это можно сделать, рассмотрев три случая для n по модулю 3:

• Случай 1: n ≡ 0 (mod 3) → n³ ≡ 0 (mod 3) и 2n ≡ 0 (mod 3) → n³ + 2n ≡ 0 (mod 3)
• Случай 2: n ≡ 1 (mod 3) → n³ ≡ 1 (mod 3) и 2n ≡ 2 (mod 3) → n³ + 2n ≡ 1 + 2 ≡ 0 (mod 3)
• Случай 3: n ≡ 2 (mod 3) → n³ ≡ 2 (mod 3) и 2n ≡ 1 (mod 3) → n³ + 2n ≡ 2 + 1 ≡ 0 (mod 3)

Таким образом, в каждом случае n³ + 2n делится на 3.

Шаг 6: Заключение

Поскольку сумма (n-1)³ + n³ + (n+1)³ равна 3(n³ + 2n) и n³ + 2n делится на 3, то вся сумма делится на 9. Значит, мы доказали, что сумма кубов трех последовательных чисел делится на 9.