Как можно доказать равенство (a + b)(a + b)(a + b) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³?

Алгебра 8 класс Формулы сокращённого умножения доказать равенство алгебра 8 класс формула куба суммы (a + b)³ алгебраические выражения математические доказательства Новый

Чтобы доказать равенство (a + b)(a + b)(a + b) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, мы можем воспользоваться методом разложения. Давайте поэтапно рассмотрим, как это сделать.

1. Сначала упростим левую часть равенства:

   Мы можем начать с того, что раскроем скобки в выражении (a + b)(a + b). Это даст нам:

   • (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b².

   Теперь у нас есть выражение a² + 2ab + b², и мы можем умножить его на (a + b) снова:

2. Умножаем на (a + b):

   Теперь умножим (a² + 2ab + b²) на (a + b):

   • (a² + 2ab + b²)(a + b) = a²(a + b) + 2ab(a + b) + b²(a + b).

   Раскроем каждую из скобок:

   • a²(a + b) = a³ + a²b,
   • 2ab(a + b) = 2a²b + 2ab²,
   • b²(a + b) = b²a + b³.

   Теперь объединим все эти результаты:

   • a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + b²a + b³.
3. Соберем подобные слагаемые:

   Теперь мы можем собрать подобные слагаемые:

   • a³,
   • (a²b + 2a²b + b²a) = 3a²b,
   • (2ab² + b³) = 3ab²,
   • b³.

   Таким образом, мы получаем:

   • a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Таким образом, мы доказали, что (a + b)(a + b)(a + b) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Это равенство действительно верно.