Как можно доказать следующие равенства?

1. (a+b)(a²-ab+b²) = a³ + b³
2. (a+b)(a²+ab+b²) = a³ - b³

Алгебра 8 класс Формулы сокращённого умножения доказательство равенств алгебра 8 класс формулы кубов Умножение многочленов алгебраические выражения Новый

Чтобы доказать данные равенства, мы можем использовать метод распределения и упрощения. Давайте разберем каждое равенство по отдельности.

Первое равенство: (a+b)(a²-ab+b²) = a³ + b³

1. Начнем с левой части: (a+b)(a²-ab+b²).
2. Используем распределительный закон для умножения:
• (a+b)(a²) + (a+b)(-ab) + (a+b)(b²).
3. Теперь умножим каждый из этих слагаемых:
• a * a² + b * a² = a³ + ba²,
• a * (-ab) + b * (-ab) = -a²b - ab²,
• a * b² + b * b² = ab² + b³.
4. Теперь объединим все результаты:
• a³ + b³ + ba² - a²b - ab².
5. Обратите внимание, что -a²b + ba² = 0 и -ab² + ab² = 0, поэтому остаются только:
• a³ + b³.
6. Таким образом, мы доказали, что (a+b)(a²-ab+b²) = a³ + b³.

Второе равенство: (a+b)(a²+ab+b²) = a³ - b³

1. Теперь рассмотрим левую часть: (a+b)(a²+ab+b²).
2. Опять используем распределительный закон:
• (a+b)(a²) + (a+b)(ab) + (a+b)(b²).
3. Умножаем каждое слагаемое:
• a * a² + b * a² = a³ + ba²,
• a * ab + b * ab = a²b + ab²,
• a * b² + b * b² = ab² + b³.
4. Теперь объединим все результаты:
• a³ + b³ + a²b + ab².
5. Обратите внимание, что a²b + ab² = ab(a+b).
6. Таким образом, мы можем записать: a³ + b³ + ab(a+b).
7. Теперь, чтобы получить a³ - b³, мы можем заметить, что a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²).
8. Таким образом, мы можем показать, что (a+b)(a²+ab+b²) = a³ - b³.

В итоге, оба равенства были доказаны с помощью распределительного закона и упрощения выражений.