Как можно доказать тождество: n(n+1)(n+2)+(n+1)=(n+1)³?

Алгебра 8 класс Тождества и их доказательства доказать тождество алгебра 8 класс n(n+1)(n+2) (n+1)³ математические тождества решение алгебраических задач Новый

Чтобы доказать тождество n(n+1)(n+2) + (n+1) = (n+1)³, мы можем выполнить несколько шагов. Давайте разберем это поэтапно.

1. Перепишем левую часть тождества:

Левая часть: n(n+1)(n+2) + (n+1).

2. Вынесем общий множитель:

Обратите внимание, что (n+1) является общим множителем в обоих слагаемых. Мы можем вынести (n+1) за скобки:

n(n+1)(n+2) + (n+1) = (n+1)(n(n+2) + 1).

3. Упростим выражение в скобках:

Теперь давайте упростим выражение n(n+2) + 1:

• n(n+2) = n² + 2n.
• Добавим 1: n² + 2n + 1.

Таким образом, у нас получается:

(n+1)(n(n+2) + 1) = (n+1)(n² + 2n + 1).

4. Заметим, что n² + 2n + 1 – это полный квадрат:

n² + 2n + 1 = (n + 1)². Таким образом, мы можем записать:

(n+1)(n² + 2n + 1) = (n+1)(n + 1)².

5. Применим правило умножения:

Теперь мы можем записать это как:

(n+1)³.

6. Запишем итог:

Таким образом, мы показали, что:

n(n+1)(n+2) + (n+1) = (n+1)³.

Мы доказали тождество, и оно верно для любого целого числа n.