Чтобы определить целочисленные решения для неравенства (x+7)(x+4)^2(x-2) < 0, следуем следующим шагам:

Сначала нужно найти значения x, при которых произведение (x+7)(x+4)^2(x-2) равно нулю. Это происходит, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

• x + 7 = 0 → x = -7
• x + 4 = 0 → x = -4
• x - 2 = 0 → x = 2

Таким образом, нули функции: x = -7, x = -4, x = 2.

Теперь мы можем разбить числовую прямую на интервалы, используя найденные нули:

• (-∞, -7)
• [-7, -4]
• [-4, 2]
• (2, +∞)

Теперь нужно выбрать тестовые точки из каждого интервала и подставить их в неравенство (x+7)(x+4)^2(x-2).

• Для интервала (-∞, -7), например, x = -8:
  • (-8 + 7)(-8 + 4)^2(-8 - 2) = (-1)(16)(-10) = 160 > 0
• Для интервала [-7, -4], например, x = -5:
  • (-5 + 7)(-5 + 4)^2(-5 - 2) = (2)(1)(-7) = -14 < 0
• Для интервала [-4, 2], например, x = 0:
  • (0 + 7)(0 + 4)^2(0 - 2) = (7)(16)(-2) = -224 < 0
• Для интервала (2, +∞), например, x = 3:
  • (3 + 7)(3 + 4)^2(3 - 2) = (10)(49)(1) = 490 > 0

Теперь мы можем подвести итог:

• (-∞, -7) → знак положительный
• [-7, -4] → знак отрицательный
• [-4, 2] → знак отрицательный
• (2, +∞) → знак положительный

Неравенство (x+7)(x+4)^2(x-2) < 0 выполняется на интервалах [-7, -4] и [-4, 2].

Теперь определим целые числа в этих интервалах:

• На интервале [-7, -4]: целые числа -7, -6, -5
• На интервале [-4, 2]: целые числа -4, -3, -2, -1, 0, 1

Целочисленные решения неравенства (x+7)(x+4)^2(x-2) < 0: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1.