Как найти сумму: 1/9*11 + 1/11*13 + 1/13*15 + ... + 1/23*25?

Алгебра 8 класс Суммы и последовательности алгебра 8 класс сумма дробей последовательности математические задачи решение примеров Новый

Чтобы найти сумму выражения 1/9*11 + 1/11*13 + 1/13*15 + ... + 1/23*25, давайте сначала разберемся с общим видом каждого слагаемого в этой последовательности.

Каждое слагаемое можно записать в виде:

• 1/(n*(n+2)), где n принимает значения 9, 11, 13, ..., 23.

Теперь давайте определим, какие значения принимает n. Это нечетные числа от 9 до 23:

• n = 9
• n = 11
• n = 13
• n = 15
• n = 17
• n = 19
• n = 21
• n = 23

Теперь мы можем записать сумму:

• 1/(9*11) + 1/(11*13) + 1/(13*15) + 1/(15*17) + 1/(17*19) + 1/(19*21) + 1/(21*23)

Чтобы упростить вычисления, заметим, что:

• 1/(n*(n+2)) = 1/2 * (1/n - 1/(n+2)), это позволяет нам использовать метод телескопической суммы.

Теперь запишем каждый член суммы в этом виде:

• 1/2 * (1/9 - 1/11)
• 1/2 * (1/11 - 1/13)
• 1/2 * (1/13 - 1/15)
• 1/2 * (1/15 - 1/17)
• 1/2 * (1/17 - 1/19)
• 1/2 * (1/19 - 1/21)
• 1/2 * (1/21 - 1/23)

Теперь складываем все эти выражения:

• Сумма = 1/2 * (1/9 - 1/23)

Теперь вычислим 1/9 - 1/23:

• Находим общий знаменатель, который равен 207 (9*23).
• 1/9 = 23/207
• 1/23 = 9/207

Теперь вычтем:

• 23/207 - 9/207 = 14/207

Теперь подставим это значение в нашу сумму:

• Сумма = 1/2 * (14/207) = 7/207

Таким образом, сумма выражения 1/9*11 + 1/11*13 + 1/13*15 + ... + 1/23*25 равна 7/207.