Как решить уравнение: √(3+√(13+4√(3))) - √(√(9))?

Алгебра 8 класс Уравнения с корнями решение уравнения алгебра 8 класс квадратные корни уравнения с корнями математические задачи Новый

Давайте разберемся с уравнением: √(3 + √(13 + 4√(3))) - √(√(9)). Мы будем решать его шаг за шагом.

Шаг 1: Упростим √(√(9)).

Значение √(9) равно 3, так как 3 * 3 = 9. Теперь возьмем корень из 3:

• √(√(9)) = √(3).

Шаг 2: Подставим это значение в уравнение.

Теперь у нас есть:

• √(3 + √(13 + 4√(3))) - √(3).

Шаг 3: Упростим выражение √(13 + 4√(3)).

Для этого попробуем представить 13 + 4√(3) в виде (a + b)², где a и b - некоторые числа. Раскроем скобки:

• (a + b)² = a² + 2ab + b².

Сравнивая, мы видим, что:

• a² + b² = 13,
• 2ab = 4√(3).

Шаг 4: Найдем a и b.

Из второго уравнения 2ab = 4√(3) следует, что ab = 2√(3). Теперь попробуем найти такие a и b, чтобы a² + b² = 13 и ab = 2√(3).

Предположим, что a = √(3) и b = 2. Тогда:

• a² = 3,
• b² = 4.

Теперь проверим:

• a² + b² = 3 + 4 = 7 (не подходит).

Попробуем другие значения. Предположим, a = 2√(3) и b = 1:

• a² = 12,
• b² = 1.

Теперь:

• a² + b² = 12 + 1 = 13 (подходит),
• ab = 2√(3) * 1 = 2√(3) (подходит).

Таким образом, √(13 + 4√(3)) = √((2√(3) + 1)²) = 2√(3) + 1.

Шаг 5: Подставим это значение обратно в уравнение.

Теперь у нас есть:

• √(3 + (2√(3) + 1)) - √(3).

Упростим выражение под корнем:

• 3 + 2√(3) + 1 = 4 + 2√(3).

Теперь вычислим √(4 + 2√(3)).

Шаг 6: Попробуем представить 4 + 2√(3) в виде (a + b)².

Пусть a = 2 и b = √(3). Тогда:

• (a + b)² = 2² + 2 * 2 * √(3) + (√(3))² = 4 + 4√(3) + 3 = 7 + 4√(3) (не подходит).

Попробуем a = 1 и b = √(3) + 1:

• (1 + √(3))² = 1 + 2√(3) + 3 = 4 + 2√(3) (подходит).

Таким образом, √(4 + 2√(3)) = 1 + √(3).

Шаг 7: Теперь подставим это значение обратно в уравнение.

У нас получается:

• (1 + √(3)) - √(3) = 1.

Ответ:

Решение уравнения √(3 + √(13 + 4√(3))) - √(√(9)) = 1.