Как упростить следующие выражения и разложить их на множители:

1. Упростить выражение:
   • а) 4х^4 * (-2х^2)^3
   • б) (3х - 1)(3х + 1) + (3х + 1)^2
2. Разложить на множители:
   • а) 25а - аб^2
   • б) 3 - а^2 - 6а + 3а

Алгебра 8 класс Упрощение алгебраических выражений и разложение на множители упрощение выражений разложение на множители алгебра 8 класс алгебраические выражения математические задачи уроки алгебры Новый

Давайте разберем каждое из заданий по порядку.

Упростить выражения:

а) 4х^4 * (-2х^2)^3

1. Сначала упростим выражение (-2х^2)^3. Для этого мы возводим в куб как число, так и переменную:
• (-2)^3 = -8
• (х^2)^3 = х^(2*3) = х^6
2. Таким образом, мы получаем: (-2х^2)^3 = -8х^6.
3. Теперь подставим это значение в исходное выражение:
• 4х^4 * (-8х^6) = 4 * (-8) * х^(4+6) = -32х^{10}.

Таким образом, упрощенное выражение: -32х^{10}.

б) (3х - 1)(3х + 1) + (3х + 1)^2

1. Сначала упростим первое произведение (3х - 1)(3х + 1). Это разность квадратов:
• (3х)^2 - (1)^2 = 9х^2 - 1.
2. Теперь упростим второе выражение (3х + 1)^2:
• (3х + 1)(3х + 1) = (3х)^2 + 2*3х*1 + 1^2 = 9х^2 + 6х + 1.
3. Теперь объединим оба результата:
• (9х^2 - 1) + (9х^2 + 6х + 1) = 9х^2 + 9х^2 + 6х - 1 + 1 = 18х^2 + 6х.

Таким образом, упрощенное выражение: 18х^2 + 6х.

Разложить на множители:

а) 25а - аб^2

1. В данном выражении можно вынести общий множитель. Общим множителем является а:
• 25а - аб^2 = а(25 - b^2).
2. Теперь заметим, что (25 - b^2) можно разложить на множители, так как это разность квадратов:
• 25 - b^2 = (5 - b)(5 + b).
3. Таким образом, окончательное разложение будет:
• а(5 - b)(5 + b).

Итак, разложенное на множители выражение: а(5 - b)(5 + b).

б) 3 - а^2 - 6а + 3а

1. Сначала упростим выражение, объединив подобные члены:
• 3 - а^2 - 6а + 3а = 3 - а^2 - 3а.
2. Теперь можно переписать это выражение в стандартной форме:
• -а^2 - 3а + 3.
3. Теперь вынесем общий множитель -1:
• -(а^2 + 3а - 3).
4. Теперь найдем корни квадратного уравнения а^2 + 3а - 3. Используем дискриминант:
• D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 1 * (-3) = 9 + 12 = 21.
5. Корни уравнения:
• а1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-3 + sqrt(21)) / 2;
• а2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-3 - sqrt(21)) / 2.
6. Таким образом, разложение будет выглядеть так:
• -(а - а1)(а - а2).

Итак, разложенное на множители выражение: -(а - (-3 + sqrt(21))/2)(а - (-3 - sqrt(21))/2).