Чтобы упростить выражение (a+b+c)^2 + (a+b-c)^2 + (a-b+c)^2 + (b+c-a)^2, давайте рассмотрим каждое из слагаемых по отдельности и затем сложим их.

1. Первое слагаемое: (a+b+c)^2
• Раскроем скобки: (a+b+c)(a+b+c) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc.
2. Второе слагаемое: (a+b-c)^2
• Раскроем скобки: (a+b-c)(a+b-c) = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc.
3. Третье слагаемое: (a-b+c)^2
• Раскроем скобки: (a-b+c)(a-b+c) = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc.
4. Четвертое слагаемое: (b+c-a)^2
• Раскроем скобки: (b+c-a)(b+c-a) = b^2 + c^2 + a^2 - 2bc - 2ac + 2ab.

Теперь соберем все полученные выражения вместе:

(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) + (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc) + (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc) + (a^2 + b^2 + c^2 - 2bc - 2ac + 2ab)

Теперь упростим это выражение, складывая подобные слагаемые:

• Считаем коэффициенты при a^2, b^2 и c^2: 4a^2 + 4b^2 + 4c^2.
• Считаем коэффициенты при ab: 2ab - 2ab - 2ab + 2ab = 0.
• Считаем коэффициенты при ac: 2ac - 2ac + 2ac - 2ac = 0.
• Считаем коэффициенты при bc: 2bc + 2bc - 2bc - 2bc = 0.

Таким образом, все смешанные члены исчезают, и мы получаем:

4a^2 + 4b^2 + 4c^2.

Это можно записать как:

4(a^2 + b^2 + c^2).

Итак, окончательный ответ: 4(a^2 + b^2 + c^2).