Давайте разберем каждую из задач по порядку.

1. Вынесение множителя из-под знака корня:

• √(8/27):
  1. Разложим 8 и 27 на множители: 8 = 2^3, 27 = 3^3.
  2. Тогда √(8/27) = √(2^3 / 3^3) = (√8)/(√27) = (2√2)/(3).
• √(13/32):
  1. 32 = 2^5, поэтому √(13/32) = √(13)/(√(2^5)) = √(13)/(4√2).
• √(40/63):
  1. 40 = 2^3 * 5, 63 = 3^2 * 7.
  2. Тогда √(40/63) = √(40)/√(63) = (2√10)/(3√7).
• √(75/128):
  1. 75 = 3 * 5^2, 128 = 2^7.
  2. Тогда √(75/128) = (5√3)/(8√2).
• 10√(1/8):
  1. √(1/8) = 1/(2√2), следовательно, 10√(1/8) = 10/(2√2) = 5/√2.
• √(363/32):
  1. 363 = 3 * 11^2, 32 = 2^5.
  2. Тогда √(363/32) = (11√3)/(4√2).
• √(17/81):
  1. 81 = 3^4, поэтому √(17/81) = √(17)/(9).
• 2√(47/50):
  1. 50 = 2 * 5^2, следовательно, 2√(47/50) = 2√(47)/(5√2).

2. Внесение множителя под знак корня:

• 3√2 = √(3^2 * 2) = √(9 * 2) = √(18).
• 8√7 = √(8^2 * 7) = √(64 * 7) = √(448).
• 4√(11a) = √(4^2 * 11a) = √(16 * 11a) = √(176a).
• 7√(5x) = √(7^2 * 5x) = √(49 * 5x) = √(245x).

3. Внесение множителя под знак корня:

• 4√(1/2) = √(4^2 * (1/2)) = √(16/2) = √(8) = 2√2.
• 6√(2/3) = √(6^2 * (2/3)) = √(36/3) = √(12) = 2√3.
• 14√(5/7) = √(14^2 * (5/7)) = √(196/7) = √(28) = 2√7.
• 15√(3/5) = √(15^2 * (3/5)) = √(225/5) = √(45) = 3√5.

4. Внесение множителя под знак корня:

• -4√5 = √((-4)^2 * 5) = √(16 * 5) = √(80).
• -1/3√(6x) = √((-1/3)^2 * (6x)) = √(1/9 * 6x) = √(2/3 * x).
• -7√3 = √((-7)^2 * 3) = √(49 * 3) = √(147).
• -0,5√(2y) = √((-0,5)^2 * (2y)) = √(0,25 * 2y) = √(0,5y).
• -0,3√(2a) = √((-0,3)^2 * (2a)) = √(0,09 * 2a) = √(0,18a).
• -2/7√14 = √((-2/7)^2 * 14) = √(4/49 * 14) = √(56/49) = √(56)/7.
• -2√(3b) = √((-2)^2 * (3b)) = √(4 * 3b) = √(12b).
• -3/4√(6a) = √((-3/4)^2 * (6a)) = √(9/16 * 6a) = √(54a/16).

5. Представление выражения в виде арифметического квадратного корня:

• 5√(1/5) = √(5^2 * (1/5)) = √(5) = √5.
• 3√(5/6) = √(3^2 * (5/6)) = √(9 * 5/6) = √(15/2).
• 2/3√72 = √((2/3)^2 * 72) = √(4/9 * 72) = √(32).
• 12/13√2028 = √((12/13)^2 * 2028) = √(144/169 * 2028) = √(144 * 12) = √(1728).
• -6√(a/3) = √((-6)^2 * (a/3)) = √(36a/3) = √(12a).
• -14√(x/7) = √((-14)^2 * (x/7)) = √(196x/7) = √(28x).
• -3/8√192 = √((-3/8)^2 * 192) = √(9/64 * 192) = √(27/16) = (3√3)/4.
• 4√(b/6) = √(4^2 * (b/6)) = √(16b/6) = √(8b/3).

6. Расположение чисел в порядке возрастания:

• √60 ≈ 7.75
• √55 ≈ 7.42
• 2√7 ≈ 5.29
• 2√14 ≈ 7.48
• 4√3 ≈ 6.93
• 5√2 ≈ 7.07
• 2√13 ≈ 7.21

Итак, мы рассмотрели все задачи по порядку. Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!