Каковы координаты векторов EF и GH, середина отрезка EF, уравнение окружности с диаметром FG и уравнение прямой FH для данных точек Е(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2)?

Также, как можно доказать, что фигура ABCD с точками A(1;1), B(4;2), C(5;5), D(2;4) является параллелограммом?

Алгебра 8 класс Геометрия в координатной плоскости координаты векторов середина отрезка уравнение окружности уравнение прямой фигура ABCD параллелограмм доказательство параллелограмма точки в алгебре Новый

Давайте поэтапно решим все заданные задачи.

1. Найдем координаты векторов EF и GH:

Вектор определяется как разность координат двух точек. Вектор EF можно найти, вычитая координаты точки E из координат точки F:

• EF = F - E = (-4 - 4; -10 - 12) = (-8; -22).

Теперь найдем вектор GH:

• GH = H - G = (4 - (-2); -2 - 6) = (4 + 2; -2 - 6) = (6; -8).

2. Найдем середину отрезка EF:

Середина отрезка находится по формуле:

• M = ((x1 + x2) / 2; (y1 + y2) / 2),

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты концов отрезка. Подставим координаты точек E и F:

• M = ((4 + (-4)) / 2; (12 + (-10)) / 2) = (0 / 2; 2 / 2) = (0; 1).

3. Найдем уравнение окружности с диаметром FG:

Для нахождения уравнения окружности с диаметром FG, сначала найдем середину отрезка FG и радиус окружности.

• Середина FG: M = ((-2 + (-4)) / 2; (6 + (-10)) / 2) = (-3; -2).

Теперь найдем длину отрезка FG, чтобы определить радиус:

• r = 1/2 * sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = 1/2 * sqrt((-2 - (-4))^2 + (6 - (-10))^2) = 1/2 * sqrt((2)^2 + (16)^2) = 1/2 * sqrt(4 + 256) = 1/2 * sqrt(260) = sqrt(65).

Уравнение окружности имеет вид:

• (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2.

Подставляем значения:

• (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = (sqrt(65))^2.
• (x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 65.

4. Найдем уравнение прямой FH:

Для нахождения уравнения прямой FH, сначала найдем её наклон (угловой коэффициент). Угловой коэффициент m вычисляется по формуле:

• m = (y2 - y1) / (x2 - x1).

Подставляем координаты точек F и H:

• m = (-2 - (-10)) / (4 - (-4)) = (8) / (8) = 1.

Теперь используем уравнение прямой в общем виде:

• y - y1 = m(x - x1).

Подставляем координаты точки F и найденное значение m:

• y - (-10) = 1(x - (-4))
• y + 10 = x + 4
• y = x - 6.

5. Доказательство, что фигура ABCD является параллелограммом:

Чтобы доказать, что фигура ABCD является параллелограммом, нужно показать, что противолежащие стороны равны или что диагонали пересекаются в середине.

Сначала найдем длины сторон:

• AB = sqrt((4 - 1)^2 + (2 - 1)^2) = sqrt(3^2 + 1^2) = sqrt(9 + 1) = sqrt(10).
• BC = sqrt((5 - 4)^2 + (5 - 2)^2) = sqrt(1^2 + 3^2) = sqrt(1 + 9) = sqrt(10).
• CD = sqrt((2 - 5)^2 + (4 - 5)^2) = sqrt((-3)^2 + (-1)^2) = sqrt(9 + 1) = sqrt(10).
• DA = sqrt((1 - 2)^2 + (1 - 4)^2) = sqrt((-1)^2 + (-3)^2) = sqrt(1 + 9) = sqrt(10).

Мы видим, что AB = CD и BC = DA, что означает, что ABCD - параллелограмм.

Таким образом, мы нашли все необходимые координаты, уравнения и доказали, что фигура ABCD является параллелограммом.