Можете, пожалуйста, доказать следующее тождество:

1. (x+y)^3 - x^3 - y^3 = 3xy(x+y);
2. 3xy(y-x) = (x-y)^3 - x^3 + y^3.

Спасибо заранее!

Алгебра 8 класс Алгебраические тождества алгебра 8 класс тождество доказательство тождества (x+y)^3 x^3 y^3 3xy алгебраические выражения математические тождества Новый

Давайте поэтапно докажем оба тождества. Начнем с первого:

1. Доказательство тождества: (x+y)^3 - x^3 - y^3 = 3xy(x+y)

Для начала разложим левую часть тождества:

1. Распишем (x+y)^3 по формуле куба суммы:
2. (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3

Теперь подставим это выражение в левую часть тождества:

1. (x+y)^3 - x^3 - y^3 = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - x^3 - y^3
2. Сократим x^3 и y^3:
3. 3x^2y + 3xy^2

Теперь вынесем общий множитель 3xy:

1. 3xy(x/y + y/x) = 3xy(x+y)

Таким образом, мы получили:

(x+y)^3 - x^3 - y^3 = 3xy(x+y),

что и требовалось доказать.

2. Доказательство тождества: 3xy(y-x) = (x-y)^3 - x^3 + y^3

Теперь перейдем ко второму тождеству. Начнем с правой части:

1. Распишем (x-y)^3 по формуле куба разности:
2. (x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3

Теперь подставим это выражение в правую часть тождества:

1. (x-y)^3 - x^3 + y^3 = (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) - x^3 + y^3
2. Сократим x^3 и -y^3:
3. -3x^2y + 3xy^2

Теперь вынесем общий множитель 3xy:

1. 3xy(-x/y + y/x) = 3xy(y-x)

Таким образом, мы получили:

3xy(y-x) = (x-y)^3 - x^3 + y^3,

что и требовалось доказать.

В итоге оба тождества доказаны. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!