Площадь прямоугольника равна 36 дм^2. Какими должны быть длины сторон этого прямоугольника, чтобы минимизировать его периметр?
Алгебра 8 класс Оптимизация функций площадь прямоугольника длины сторон минимизация периметра алгебра 8 класс задачи по алгебре Новый
Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами прямоугольников и формулами для площади и периметра.
Давайте обозначим длины сторон прямоугольника как a и b. Из условия задачи мы знаем, что площадь прямоугольника равна 36 дм², то есть:
a * b = 36
Теперь нам нужно минимизировать периметр прямоугольника. Периметр P прямоугольника вычисляется по формуле:
P = 2(a + b)
Чтобы выразить периметр через одну переменную, мы можем выразить b через a из уравнения площади:
b = 36/a
Теперь подставим это значение b в формулу для периметра:
P = 2(a + 36/a)
Теперь у нас есть функция периметра, которую мы можем минимизировать. Для этого нам нужно найти производную и приравнять её к нулю. Но сначала упростим выражение:
P = 2a + 72/a
Теперь найдем производную P по a:
P' = 2 - 72/a²
Теперь приравняем производную к нулю:
2 - 72/a² = 0
Решим это уравнение:
Теперь, зная a, найдем b:
b = 36/a = 36/6 = 6
Таким образом, обе стороны прямоугольника равны 6 дм.
В итоге, чтобы минимизировать периметр прямоугольника при заданной площади, длины его сторон должны быть равны 6 дм. Это означает, что прямоугольник является квадратом со стороной 6 дм.