Площадь прямоугольника равна 36 дм^2. Какими должны быть длины сторон этого прямоугольника, чтобы минимизировать его периметр?

Алгебра 8 класс Оптимизация функций площадь прямоугольника длины сторон минимизация периметра алгебра 8 класс задачи по алгебре Новый

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами прямоугольников и формулами для площади и периметра.

Давайте обозначим длины сторон прямоугольника как a и b. Из условия задачи мы знаем, что площадь прямоугольника равна 36 дм², то есть:

a * b = 36

Теперь нам нужно минимизировать периметр прямоугольника. Периметр P прямоугольника вычисляется по формуле:

P = 2(a + b)

Чтобы выразить периметр через одну переменную, мы можем выразить b через a из уравнения площади:

b = 36/a

Теперь подставим это значение b в формулу для периметра:

P = 2(a + 36/a)

Теперь у нас есть функция периметра, которую мы можем минимизировать. Для этого нам нужно найти производную и приравнять её к нулю. Но сначала упростим выражение:

P = 2a + 72/a

Теперь найдем производную P по a:

P' = 2 - 72/a²

Теперь приравняем производную к нулю:

2 - 72/a² = 0

Решим это уравнение:

1. Переносим 72/a² на другую сторону:
2. 2 = 72/a²
3. Умножаем обе стороны на a²:
4. 2a² = 72
5. Делим обе стороны на 2:
6. a² = 36
7. Теперь извлекаем корень:
8. a = 6

Теперь, зная a, найдем b:

b = 36/a = 36/6 = 6

Таким образом, обе стороны прямоугольника равны 6 дм.

В итоге, чтобы минимизировать периметр прямоугольника при заданной площади, длины его сторон должны быть равны 6 дм. Это означает, что прямоугольник является квадратом со стороной 6 дм.