Помогите, пожалуйста, решить неравенство: 4 в степени x меньше, чем 2 в степени (x+1) плюс 3.

Алгебра 8 класс Неравенства с показателями неравенство алгебра 8 класс решение неравенств 4 в степени x 2 в степени (x+1) математические задачи Новый

Давайте решим неравенство: 4 в степени x < 2 в степени (x+1) + 3. Для начала, мы можем упростить выражение, используя свойства степеней.

Мы знаем, что 4 можно представить как 2 в квадрате, то есть:

• 4^x = (2^2)^x = 2^(2x).

Теперь подставим это в неравенство:

• 2^(2x) < 2^(x+1) + 3.

Теперь у нас есть неравенство с одинаковыми основаниями. Чтобы упростить его, мы можем перенести все на одну сторону:

• 2^(2x) - 2^(x+1) < 3.

Теперь давайте сделаем замену: пусть y = 2^x. Тогда 2^(2x) = (2^x)^2 = y^2, а 2^(x+1) = 2^x * 2 = 2y.

Таким образом, неравенство принимает вид:

• y^2 - 2y < 3.

Теперь перенесем 3 на левую сторону:

• y^2 - 2y - 3 < 0.

Теперь мы можем решить квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни уравнения y^2 - 2y - 3 = 0, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

Корни уравнения находятся по формуле:

• y = (b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -2, c = -3.

Подставим значения:

• D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.

Теперь найдем корни:

• y1 = (2 + √16) / 2 = (2 + 4) / 2 = 3;
• y2 = (2 - √16) / 2 = (2 - 4) / 2 = -1.

Теперь у нас есть корни y1 = 3 и y2 = -1. Поскольку y = 2^x всегда положительно, мы игнорируем корень y2 = -1.

Теперь мы можем исследовать знак выражения y^2 - 2y - 3 на промежутках:

• Рассмотрим промежутки: (-∞, -1), (-1, 3) и (3, +∞).

На промежутке (-∞, -1) знак выражения положительный, на промежутке (-1, 3) - отрицательный, а на промежутке (3, +∞) - положительный.

Таким образом, неравенство y^2 - 2y - 3 < 0 выполняется на промежутке:

• -1 < y < 3.

Теперь вернемся к нашей замене y = 2^x. Поскольку y = 2^x всегда положительно, мы можем записать:

• 0 < 2^x < 3.

Теперь решим неравенство 2^x < 3. Для этого найдем x:

• x < log2(3).

Приблизительно log2(3) = 1.585. Таким образом, окончательный ответ:

• x < log2(3).

Итак, мы пришли к выводу, что решением неравенства является:

• x < log2(3).