Помогите, пожалуйста, решить задачу: 1/(1+√2)+1/(√2+√3)+1/(√3+2 без использования косинусов и синусов. Как можно упростить эту дробь?

Алгебра 8 класс Рационализация дробей алгебра 8 класс решение задачи упрощение дробей дроби с корнями математические задачи алгебраические выражения Новый

Давайте разберем вашу задачу по шагам. Нам нужно упростить выражение:

1/(1+√2) + 1/(√2+√3) + 1/(√3+2)

Для начала, упростим каждую дробь по отдельности, используя метод умножения на сопряженные выражения. Это поможет избавиться от корней в знаменателе.

1. Упрощаем первую дробь:
• Возьмем дробь 1/(1+√2).
• Умножим числитель и знаменатель на (1-√2) (сопряженное выражение):
• Получаем: 1*(1-√2) / ((1+√2)*(1-√2)).
• В знаменателе используем формулу разности квадратов: (1+√2)(1-√2) = 1 - 2 = -1.
• Таким образом, первая дробь упрощается до: (1-√2)/(-1) = √2 - 1.
2. Упрощаем вторую дробь:
• Возьмем дробь 1/(√2+√3).
• Умножим числитель и знаменатель на (√2-√3):
• Получаем: 1*(√2-√3) / ((√2+√3)*(√2-√3)).
• В знаменателе также используем формулу разности квадратов: (√2+√3)(√2-√3) = 2 - 3 = -1.
• Таким образом, вторая дробь упрощается до: (√2-√3)/(-1) = √3 - √2.
3. Упрощаем третью дробь:
• Возьмем дробь 1/(√3+2).
• Умножим числитель и знаменатель на (√3-2):
• Получаем: 1*(√3-2) / ((√3+2)*(√3-2)).
• В знаменателе: (√3+2)(√3-2) = 3 - 4 = -1.
• Таким образом, третья дробь упрощается до: (√3-2)/(-1) = 2 - √3.

Теперь мы можем объединить все упрощенные дроби:

√2 - 1 + √3 - √2 + 2 - √3

Теперь сложим все подобные слагаемые:

• √2 и -√2 взаимно уничтожаются.
• √3 и -√3 также взаимно уничтожаются.
• Остается: -1 + 2 = 1.

Таким образом, итоговый результат упрощения выражения:

1.