При каком значении a выражение (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+a становится полным квадратом?

Алгебра 8 класс Полные квадраты значение a выражение полное квадрат алгебра 8 класс квадратное выражение решение уравнения Новый

Чтобы выяснить, при каком значении a выражение (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+a становится полным квадратом, начнем с упрощения выражения (x+2)(x+4)(x+6)(x+8).

1. Сначала мы можем сгруппировать множители:

• (x+2)(x+8) и (x+4)(x+6)

2. Посчитаем каждую из групп:

• (x+2)(x+8) = x^2 + 10x + 16
• (x+4)(x+6) = x^2 + 10x + 24

3. Теперь перемножим эти два выражения:

• (x^2 + 10x + 16)(x^2 + 10x + 24)

4. Обозначим z = x^2 + 10x. Тогда у нас получится:

• (z + 16)(z + 24) = z^2 + 40z + 384

5. Теперь заменим z обратно на x^2 + 10x:

• (x^2 + 10x)^2 + 40(x^2 + 10x) + 384

6. Это дает нам:

• x^4 + 20x^3 + 124x^2 + 400x + 384

7. Теперь добавим a к нашему выражению:

• x^4 + 20x^3 + 124x^2 + 400x + (384 + a)

8. Чтобы это выражение стало полным квадратом, необходимо, чтобы константа (384 + a) была равна квадрату некоторого числа. Например, пусть это будет b^2, где b – это целое число.

9. Таким образом, мы получаем уравнение:

• 384 + a = b^2

10. Теперь выразим a:

• a = b^2 - 384

11. Чтобы a было целым числом, b должно быть выбрано так, чтобы b^2 было больше или равно 384. Наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому условию, это b = 20, так как 20^2 = 400.

12. Подставим b = 20:

• a = 400 - 384 = 16

13. Таким образом, мы можем заключить, что при a = 16 выражение (x+2)(x+4)(x+6)(x+8) + a становится полным квадратом.

Ответ: a = 16