Упростите следующее выражение: (х^– 2 – у^– 2) : (х^– 1 + у^– 1)

Алгебра 8 класс Упрощение дробных выражений и работа с отрицательными степенями Упрощение выражения алгебра 8 класс дробно-рациональные выражения х и у математические выражения решение задач по алгебре Новый

Давайте упростим выражение (х^– 2 – у^– 2) : (х^– 1 + у^– 1) шаг за шагом.

Шаг 1: Преобразуем дробные степени.

Сначала вспомним, что отрицательная степень означает, что мы берем обратное число. То есть:

• х^–2 = 1/(х^2)
• у^–2 = 1/(у^2)
• х^–1 = 1/(х)
• у^–1 = 1/(у)

Подставим это в выражение:

(1/(х^2) - 1/(у^2)) : (1/(х) + 1/(у))

Шаг 2: Найдем общий знаменатель для числителя.

Общий знаменатель для 1/(х^2) и 1/(у^2) будет х^2у^2. Перепишем числитель:

• 1/(х^2) = (у^2)/(х^2у^2)
• 1/(у^2) = (х^2)/(х^2у^2)

Теперь числитель выглядит так:

(у^2 - х^2) / (х^2у^2)

Шаг 3: Найдем общий знаменатель для знаменателя.

Общий знаменатель для 1/(х) и 1/(у) будет ху. Перепишем знаменатель:

• 1/(х) = (у)/(ху)
• 1/(у) = (х)/(ху)

Теперь знаменатель выглядит так:

(у + х) / (ху)

Шаг 4: Запишем полное выражение.

Теперь мы можем записать наше выражение в виде:

((у^2 - х^2) / (х^2у^2)) : ((у + х) / (ху))

Шаг 5: Умножение на обратное.

При делении дробей мы умножаем на обратное:

(у^2 - х^2) / (х^2у^2) * (ху) / (у + х)

Шаг 6: Упростим выражение.

Теперь мы можем сократить:

• ху в числителе и х^2у^2 в знаменателе.

После сокращения получаем:

(у^2 - х^2) / (х*у*(у + х))

Шаг 7: Применим формулу разности квадратов.

У нас есть разность квадратов в числителе:

у^2 - х^2 = (у - х)(у + х)

Теперь подставим это в выражение:

((у - х)(у + х)) / (ху(у + х))

Шаг 8: Сократим (у + х).

Если у + х не равно нулю, мы можем сократить (у + х):

(у - х) / (ху)

Ответ: Упрощенное выражение равно (у - х) / (ху), при условии, что у + х не равно нулю.