В обыкновенной дроби числитель на 7 меньше знаменателя. Если числитель уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 4, то дробь станет меньше на 1/6. Какую дробь мы имеем?

Алгебра 8 класс Обыкновенные дроби алгебра обыкновенная дробь числитель знаменатель задача на дроби уменьшение числителя увеличение знаменателя дробь меньше на 1/6 решение уравнения математическая задача Новый

Давайте обозначим знаменатель дроби через x. Тогда числитель будет равен x - 7, так как он на 7 меньше знаменателя.

Теперь мы можем записать дробь:

Дробь = (x - 7) / x

Согласно условию задачи, если мы уменьшаем числитель на 1, то он станет (x - 7 - 1) = (x - 8), а знаменатель увеличивается на 4, и станет (x + 4). Новая дробь будет выглядеть так:

Новая дробь = (x - 8) / (x + 4)

Теперь по условию задачи новая дробь меньше старой на 1/6. Это можно записать в виде уравнения:

(x - 7) / x - (x - 8) / (x + 4) = 1/6

Теперь давайте упростим это уравнение. Для этого найдем общий знаменатель для левой части уравнения:

Общий знаменатель = x(x + 4)

Теперь перепишем дроби с общим знаменателем:

1. (x - 7)(x + 4) - (x - 8)x = (x(x + 4)) / 6

Раскроем скобки:

1. (x^2 + 4x - 7x - 28) - (x^2 - 8x) = (x^2 + 4x) / 6
2. (-3x - 28 + 8x) = (x^2 + 4x) / 6
3. (5x - 28) = (x^2 + 4x) / 6

Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от дроби:

6(5x - 28) = x^2 + 4x

Упростим уравнение:

30x - 168 = x^2 + 4x

Перепишем уравнение в стандартной форме:

x^2 - 26x + 168 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 * 1 * 168 = 676 - 672 = 4

Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:

x1 = (26 + √4) / 2 = 14

x2 = (26 - √4) / 2 = 12

Теперь подставим значения x обратно в выражение для числителя:

• Если x = 14, то числитель = 14 - 7 = 7. Дробь = 7/14 = 1/2.
• Если x = 12, то числитель = 12 - 7 = 5. Дробь = 5/12.

Таким образом, мы имеем две возможные дроби: 1/2 и 5/12.