Знаменатель обыкновенной дроби на 3 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 4, а знаменатель на 8, то полученная дробь будет на 1/6 больше исходной. Какова исходная дробь?

Алгебра 8 класс Обыкновенные дроби алгебра 8 класс обыкновенные дроби задача на дроби числитель и знаменатель увеличение дроби решение уравнений математические задачи Новый

Давайте обозначим числитель обыкновенной дроби как x. Тогда знаменатель, согласно условию задачи, будет равен x + 3.

Исходная дробь, следовательно, может быть записана как:

Дробь = x / (x + 3)

Теперь рассмотрим условие, что если мы увеличим числитель на 4 и знаменатель на 8, то новая дробь будет на 1/6 больше исходной. Новая дробь будет выглядеть так:

Новая дробь = (x + 4) / (x + 3 + 8) = (x + 4) / (x + 11)

Согласно условию, новая дробь на 1/6 больше исходной, что можно записать как:

(x + 4) / (x + 11) = x / (x + 3) + 1/6

Теперь мы можем решить это уравнение. Для этого сначала приведем правую часть к общему знаменателю:

Общий знаменатель для дробей x / (x + 3) и 1/6 будет 6(x + 3). Запишем правую часть:

x / (x + 3) + 1/6 = (6x + (x + 3)) / (6(x + 3)) = (6x + x + 3) / (6(x + 3)) = (7x + 3) / (6(x + 3))

Теперь у нас есть уравнение:

(x + 4) / (x + 11) = (7x + 3) / (6(x + 3))

Перекрестно умножим обе части уравнения:

(x + 4) * 6(x + 3) = (7x + 3) * (x + 11)

Раскроем скобки:

1. Левая часть: 6(x + 4)(x + 3) = 6(x^2 + 7x + 12) = 6x^2 + 42x + 72
2. Правая часть: (7x + 3)(x + 11) = 7x^2 + 77x + 3x + 33 = 7x^2 + 80x + 33

Теперь у нас есть уравнение:

6x^2 + 42x + 72 = 7x^2 + 80x + 33

Переносим все на одну сторону:

0 = 7x^2 - 6x^2 + 80x - 42x + 33 - 72

0 = x^2 + 38x - 39

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 38^2 - 4 * 1 * (-39) = 1444 + 156 = 1600

Корни уравнения будут:

x = (-b ± √D) / (2a) = (-38 ± 40) / 2

Теперь найдем два корня:

• x1 = (2) / 2 = 1
• x2 = (-78) / 2 = -39

Так как числитель дроби не может быть отрицательным, мы берем x = 1.

Теперь подставим значение x в знаменатель:

Знаменатель = x + 3 = 1 + 3 = 4

Таким образом, исходная дробь:

1 / 4

Ответ: исходная дробь равна 1/4.