Чтобы решить данные задачи, мы будем использовать формулы сокращенного умножения. Давайте рассмотрим каждую из них по порядку.

Для квадрат суммы мы используем формулу: (A + B)² = A² + 2AB + B².

• Здесь A = 3a, B = b.
• Теперь вычислим A²: (3a)² = 9a².
• Следующий шаг — найти 2AB: 2 * (3a) * b = 6ab.
• И, наконец, B²: b².

Итак, (3a + b)² = 9a² + 6ab + b².

Снова используем формулу для квадрата разности: (A - B)² = A² - 2AB + B².

• Здесь A = 2x, B = 3y³.
• A² = (2x)² = 4x².
• 2AB = 2 * (2x) * (3y³) = 12xy³.
• B² = (3y³)² = 9y^6.

Таким образом, (2x - 3y³)² = 4x² - 12xy³ + 9y⁶.

Сначала упростим первое произведение:

• Используем формулу: (A - B)(C - D) = AC - AD - BC + BD.
• A = 5a, B = 4b, C = 2a, D = 4b.
• AC = (5a)(2a) = 10a².
• AD = (5a)(4b) = 20ab.
• BC = (4b)(2a) = 8ab.
• BD = (4b)(4b) = 16b².

Теперь подставим все это:

(5a - 4b)(2a - 4b) = 10a² - 20ab + 8ab - 16b² = 10a² - 12ab - 16b².

Теперь подставим (a + 4b)²:

• По формуле: (A + B)² = A² + 2AB + B².
• A = a, B = 4b.
• A² = a², 2AB = 8ab, B² = 16b².

Таким образом, (a + 4b)² = a² + 8ab + 16b².

Теперь вычтем это из предыдущего результата:

(10a² - 12ab - 16b²) - (a² + 8ab + 16b²) = 10a² - 12ab - 16b² - a² - 8ab - 16b² = 9a² - 20ab - 32b².

Сначала упростим (x - 2y)²:

• Используем формулу: (A - B)² = A² - 2AB + B².
• A = x, B = 2y.
• A² = x², 2AB = 4xy, B² = 4y².

(x - 2y)² = x² - 4xy + 4y².

Теперь перемножим с (3x - 4y):

• Умножаем: (x² - 4xy + 4y²)(3x - 4y).
• Это даст нам: 3x³ - 4x²y - 12xy² + 16y³.

Теперь упростим вторую часть: x(3(x² - 4y²) + 8y(y - x)).

• Сначала упростим 3(x² - 4y²) = 3x² - 12y².
• Теперь 8y(y - x) = 8y² - 8xy.

Сложим это: 3x² - 12y² + 8y² - 8xy = 3x² - 4y² - 8xy.

Теперь умножим на x:

x(3x² - 4y² - 8xy) = 3x³ - 4xy² - 8x²y.

Теперь вычтем это из первого результата:

(3x³ - 4x²y - 12xy² + 16y³) - (3x³ - 4xy² - 8x²y) = 0 + 4x²y - 4xy² + 16y³ = 4x²y - 4xy² + 16y³.

Таким образом, мы получили конечные результаты для каждой задачи:

• (3a + b)² = 9a² + 6ab + b²
• (2x - 3y³)² = 4x² - 12xy³ + 9y⁶
• (5a - 4b)(2a - 4b) - (a + 4b)² = 9a² - 20ab - 32b²
• (x - 2y)²(3x - 4y) - x(3(x² - 4y²) + 8y(y - x)) = 4x²y - 4xy² + 16y³