1. Как вычислить 3 sin(π/6) - tg(π/4)?

Для начала, давайте вычислим значения тригонометрических функций:

• sin(π/6) = 1/2. Это значение можно запомнить, так как оно часто используется.
• tg(π/4) = 1. Это также важное значение, которое стоит знать.

Теперь подставим эти значения в выражение:

1. Вычисляем 3 sin(π/6): 3 * (1/2) = 3/2.
2. Теперь вычтем tg(π/4): 3/2 - 1 = 3/2 - 2/2 = 1/2.

Таким образом, окончательный ответ: 3 sin(π/6) - tg(π/4) = 1/2.

2. Как найти cos(a), если известно, что sin(a) = -5/13 и π < a < 3π/2?

Зная значение sin(a), мы можем использовать основное тригонометрическое тождество:

sin²(a) + cos²(a) = 1.

Подставим известное значение:

1. sin²(a) = (-5/13)² = 25/169.
2. Теперь подставим в тождество: 25/169 + cos²(a) = 1.
3. Вычтем 25/169 из обеих сторон: cos²(a) = 1 - 25/169 = 169/169 - 25/169 = 144/169.
4. Теперь найдем cos(a): cos(a) = ±√(144/169) = ±12/13.

Поскольку угол a находится в третьем квадранте (где косинус отрицателен), мы выбираем отрицательное значение:

Таким образом, cos(a) = -12/13.

3. Как доказать тождество 2sin(a) cos(a) cos(2a) = 1/2 sin(4a)?

Для доказательства этого тождества мы можем использовать известные формулы тригонометрии.

Начнем с левой части:

1. Используем формулу для косинуса двойного угла: cos(2a) = 2cos²(a) - 1.
2. Подставим это значение в левую часть: 2sin(a) cos(a) (2cos²(a) - 1).
3. Раскроем скобки: 2sin(a) cos(a) * 2cos²(a) - 2sin(a) cos(a).
4. Это можно записать как 4sin(a)cos³(a) - 2sin(a)cos(a).

Теперь перейдем к правой части:

1. Используем формулу для синуса двойного угла: sin(4a) = 2sin(2a)cos(2a).
2. Теперь используем формулу для синуса двойного угла для sin(2a): sin(2a) = 2sin(a)cos(a).
3. Подставим это значение: sin(4a) = 2(2sin(a)cos(a))cos(2a) = 4sin(a)cos(a)cos(2a).
4. Теперь подставим это значение в правую часть: 1/2 * sin(4a) = 1/2 * 4sin(a)cos(a)cos(2a) = 2sin(a)cos(a)cos(2a).

Теперь сравним обе части:

Левая часть: 2sin(a) cos(a) cos(2a) и правая часть: 2sin(a)cos(a)cos(2a).

Таким образом, мы доказали, что 2sin(a) cos(a) cos(2a) = 1/2 sin(4a).