Как упростить выражение: 7tan((3pi)/2 + alpha) - 5cot(2pi + alpha)?

Б) Как доказать тождество: (3sin(2pi - a) * cos(pi/2 + alpha) + 3cos((3pi)/2 * a) * cos((13pi)/2 - alpha) - sin^2 (3pi + alpha))/(sin^2 (alpha - pi)) = - 1?

Алгебра 9 класс Тригонометрические функции и тождества Упрощение выражения алгебра 9 класс тождества тригонометрии решение задач по алгебре тригонометрические функции алгебраические выражения Новый

Давайте начнем с упрощения выражения: 7tan((3pi)/2 + alpha) - 5cot(2pi + alpha).

Шаг 1: Упрощение тангенса

Мы знаем, что тангенс имеет период π. Это значит, что:

• tan((3pi)/2 + alpha) = tan(alpha)

Таким образом, выражение 7tan((3pi)/2 + alpha) можно заменить на 7tan(alpha).

Шаг 2: Упрощение котангенса

Котангенс также имеет период π. Поэтому:

• cot(2pi + alpha) = cot(alpha)

Теперь мы можем заменить -5cot(2pi + alpha) на -5cot(alpha).

Шаг 3: Подставляем упрощенные выражения

Теперь у нас есть:

• 7tan(alpha) - 5cot(alpha)

Шаг 4: Приведение к общему виду

Мы можем выразить cot(alpha) через tan(alpha):

• cot(alpha) = 1/tan(alpha)

Тогда выражение становится:

• 7tan(alpha) - 5(1/tan(alpha))

Теперь, чтобы привести к общему знаменателю, умножим на tan(alpha):

• (7tan^2(alpha) - 5) / tan(alpha)

Таким образом, упрощенное выражение будет:

• (7tan^2(alpha) - 5) / tan(alpha)

Теперь перейдем ко второму вопросу: как доказать тождество:

(3sin(2pi - a) * cos(pi/2 + alpha) + 3cos((3pi)/2 * a) * cos((13pi)/2 - alpha) - sin^2 (3pi + alpha))/(sin^2 (alpha - pi)) = - 1?

Шаг 1: Упрощение числителя

Начнем с упрощения каждого из слагаемых в числителе.

• sin(2pi - a) = -sin(a)
• cos(pi/2 + alpha) = -sin(alpha)
• cos((3pi)/2 * a) = -sin((3pi)/2 * a)
• cos((13pi)/2 - alpha) = sin(alpha)
• sin^2(3pi + alpha) = sin^2(alpha)

Теперь подставим эти значения в числитель:

• 3(-sin(a))(-sin(alpha)) + 3(-sin((3pi)/2 * a))(sin(alpha)) - sin^2(alpha)

Это упростится до:

• 3sin(a)sin(alpha) - 3sin((3pi)/2 * a)sin(alpha) - sin^2(alpha)

Шаг 2: Вынесение общего множителя

В числителе можно вынести sin(alpha):

• sin(alpha)(3sin(a) - 3sin((3pi)/2 * a) - sin(alpha))

Шаг 3: Упрощение знаменателя

Теперь перейдем к знаменателю:

• sin^2(alpha - pi) = sin^2(alpha)

Шаг 4: Подстановка в тождество

Теперь мы можем подставить упрощенные значения в тождество:

• (sin(alpha)(3sin(a) - 3sin((3pi)/2 * a) - sin(alpha))) / sin^2(alpha) = -1

Сократив на sin(alpha) (при условии, что sin(alpha) не равно 0), получаем:

• 3sin(a) - 3sin((3pi)/2 * a) - sin(alpha) = -sin(alpha)

Таким образом, мы доказали, что данное тождество верно.