а) Как выяснить, пересекает ли парабола y=x2-8x+16 прямую 2x-3y=0 и если да, то в каких именно точках это происходит?

б) Как определить точки пересечения окружности (x-5)2+(y-4)=65 и прямой 3x-y+6=0?

Алгебра 9 класс Геометрия и аналитическая геометрия пересечение параболы и прямой точки пересечения окружности и прямой алгебра 9 класс задачи на пересечение графиков нахождение точек пересечения Новый

а) Чтобы выяснить, пересекает ли парабола y = x² - 8x + 16 прямую 2x - 3y = 0, следуем следующим шагам:

1. Приведем уравнение прямой к более удобному виду. Для этого выразим y через x:
   • 2x - 3y = 0
   • 3y = 2x
   • y = (2/3)x.
2. Теперь подставим это значение y в уравнение параболы:
   • (2/3)x = x² - 8x + 16.
3. Умножим обе стороны уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:
   • 2x = 3x² - 24x + 48.
4. Переносим все в одну сторону уравнения:
   • 3x² - 26x + 48 = 0.
5. Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
   • D = b² - 4ac = (-26)² - 4 * 3 * 48.
   • D = 676 - 576 = 100.
6. Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня, что означает, что парабола пересекает прямую в двух точках. Найдем корни:
   • x1 = (26 + √100) / (2 * 3) = 8;
   • x2 = (26 - √100) / (2 * 3) = 2.
7. Теперь подставим найденные x обратно в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие y:
   • Для x1 = 8: y1 = (2/3) * 8 = 16;
   • Для x2 = 2: y2 = (2/3) * 2 = 4/3.
8. Таким образом, точки пересечения: (8, 16) и (2, 4/3).

б) Чтобы определить точки пересечения окружности (x - 5)² + (y - 4)² = 65 и прямой 3x - y + 6 = 0, действуем следующим образом:

1. Сначала выразим y из уравнения прямой:
   • 3x - y + 6 = 0
   • y = 3x + 6.
2. Теперь подставим это значение y в уравнение окружности:
   • (x - 5)² + (3x + 6 - 4)² = 65.
   • (x - 5)² + (3x + 2)² = 65.
3. Раскроем скобки:
   • (x² - 10x + 25) + (9x² + 12x + 4) = 65.
4. Соберем все в одно уравнение:
   • 10x² + 2x + 29 - 65 = 0
   • 10x² + 2x - 36 = 0.
5. Упростим уравнение, разделив его на 2:
   • 5x² + x - 18 = 0.
6. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
   • D = b² - 4ac = 1² - 4 * 5 * (-18).
   • D = 1 + 360 = 361.
7. Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня:
   • x1 = (-1 + √361) / (2 * 5) = 2;
   • x2 = (-1 - √361) / (2 * 5) = -3.6.
8. Теперь подставим найденные x обратно в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие y:
   • Для x1 = 2: y1 = 3*2 + 6 = 12;
   • Для x2 = -3.6: y2 = 3*(-3.6) + 6 = -6.8.
9. Таким образом, точки пересечения: (2, 12) и (-3.6, -6.8).