Через начало координат к параболе y=x²-7x+5 проведены две разные касательные. Какова сумма угловых коэффициентов этих касательных?

Алгебра 9 класс Касательные к графикам функций алгебра 9 класс касательные к параболе угловые коэффициенты сумма угловых коэффициентов задача по алгебре Новый

Для решения данной задачи начнем с того, что нам необходимо найти производную функции параболы, чтобы определить угловые коэффициенты касательных.

Функция параболы задана уравнением:

y = x² - 7x + 5

Теперь найдем производную этой функции:

y' = 2x - 7

Касательная к параболе в точке x0 имеет угловой коэффициент, равный значению производной в этой точке, то есть:

k = 2x0 - 7

Чтобы провести касательную через начало координат (то есть через точку (0, 0)), у нас есть уравнение касательной:

y = kx

При этом, подставляя значение y из уравнения параболы, получаем:

kx = x² - 7x + 5

Перепишем это уравнение:

x² - (7 + k)x + 5 = 0

Это квадратное уравнение, и чтобы касательные были различными, его дискриминант должен быть больше нуля:

D = (7 + k)² - 4 * 1 * 5 > 0

Теперь упростим дискриминант:

1. D = (7 + k)² - 20
2. D = 49 + 14k + k² - 20
3. D = k² + 14k + 29 > 0

Это неравенство всегда выполняется, так как дискриминант этого квадратного трёхчлена (14² - 4 * 1 * 29) отрицателен, что означает, что он не имеет действительных корней. Таким образом, неравенство всегда выполняется для любых значений k.

Теперь найдем угловые коэффициенты касательных. Поскольку у нас есть два корня уравнения, обозначим их как k1 и k2. По свойству суммы корней квадратного уравнения:

k1 + k2 = -(коэффициент при x) = -(7) = -7

Таким образом, сумма угловых коэффициентов двух касательных, проведенных через начало координат, равна:

-7